Численная верификация тождества Бианки по двум путям на нетривиальных FLRW-фонах в ODTOE

ЧИСЛЕННАЯ ВЕРИФИКАЦИЯ ТОЖДЕСТВА БИАНКИ ПО ДВУМ ПУТЯМ НА НЕТРИВИАЛЬНЫХ FLRW-ФОНАХ В ODTOE (Numerical Dual-Path Bianchi Verification on Nontrivial FLRW Backgrounds in ODTOE) Усиление C.T2 от вакуумного Шварцшильда до радиационной, пылевой, Λ-доминированной и смешанной ΛCDM-эры в 50-значной арифметике

Панкратов Антон Сергеевич Pankratov Anton Sergeevich Независимый исследователь, г. Казань, Россия E-mail: [email protected] ORCID: 0009-0002-4870-2995

УДК 530.12 + 524.85 + 519.6

АННОТАЦИЯ В настоящей работе закрывается открытая задача (ii) из [11] §XI и оговорка [12] §VIII.3: численная верификация двух-путевого тождества Бианки ∇µ Gµν = 0 (теорема C.T2 из [11]) расширяется от вакуум-тривиального фона Шварцшильда, на котором обе стороны обнуляются автоматически, до четырёх нетривиальных FLRW-сценариев с Tµν ̸= 0: радиационно-доминированная эра (a ∝ t1/2 , p = ρ/3), пылевая эра (a ∝ t2/3 , p = 0), Λ-доминированная эра (a ∝ eHt , p = −ρc2 ) и смешанная ΛCDM-эра с энергетическими долями Planck 2018 [8] Ωr,0 = 9,2 · 10−5 , Ωm,0 = 0,315, ΩΛ,0 = 0,6889. Для каждого фона построены два структурно независимых вычислителя: Path 1 — кинематическая цепь a(t) → Γ → Rρ σµν → Rµν → Gµν → ∇µ Gµν через формулы (F4), (F6), (F9) и теорему A.T3 из [9]; Path 2 — Noether-редукция через диффеоморфную инвариантность Sobs из C eq. (3.4) и (4.5) (см. [11]) совместно с леммой L8 из [10], сводящаяся к закону непрерывности ρ̇ + 3H(ρ + p/c2 ) = 0. Анти-циркулярный аудит зафиксирован программно: функции path1_div_G и path2_noether в скрипте flrw_path2_verification.py не разделяют вспомогательного кода поверх стандартной библиотеки mpmath, не имеют общего кэша символов Кристоффеля и не импортируют друг друга. На сетке 4 сценария × 4 контрольных времени t ∈ {10−6 , 10−3 , 1, 103 } Гйр (всего 16 точек) при mp.dps = 50 и пороге εconv = 10−45 относительная разность |∇µ Gµν |Path 1 − |∇µ Gµν |Path 2 < 10−45 установлена для всех 16 пар. Сформулирована теорема D.T1 о численной сходимости двух путей; даны 16 численных свидетельств D.N1–D.N4 (по сценариям). Работа представляет численное усиление C.T2; структурное доказательство C.T2 из [11] §IV–V не пересматривается. Ключевые слова: ODTOE, FLRW, тождество Бианки, двух-путевая верификация, Noether-редукция, Path 1, Path 2, лемма L8, уравнение непрерывности, ΛCDM, Planck 2018, mpmath, 50-значная точность, анти1

циркулярный аудит

ABSTRACT This paper closes open task (ii) of [11] §XI and the caveat of [12] §VIII.3: the numerical verification of the dual-path Bianchi identity ∇µ Gµν = 0 (Theorem C.T2 of [11]) is extended from the vacuum-trivial Schwarzschild background, on which both sides vanish automatically, to four nontrivial FLRW scenarios with Tµν ̸= 0: radiationdominated era (a ∝ t1/2 , p = ρ/3), matter-dominated era (a ∝ t2/3 , p = 0), Λdominated era (a ∝ eHt , p = −ρc2 ), and mixed ΛCDM era with Planck 2018 [8] energy fractions Ωr,0 = 9.2 · 10−5 , Ωm,0 = 0.315, ΩΛ,0 = 0.6889. For each background two structurally independent evaluators are built: Path 1 — kinematic chain a(t) → Γ → Rρ σµν → Rµν → Gµν → ∇µ Gµν via formulas (F4), (F6), (F9) and Theorem A.T3 of [9]; Path 2 — Noether reduction via diffeomorphism invariance of Sobs from C eq. (3.4) and (4.5) (see [11]) combined with lemma L8 of [10], reducing to the continuity equation ρ̇ + 3H(ρ + p/c2 ) = 0. The anti-circularity audit is enforced programmatically: the functions path1_div_G and path2_noether in the script flrw_path2_verification.py share no helper code above the mpmath stdlib, share no Christoffel-symbol cache, and do not import each other. On a grid of 4 scenarios × 4 test times t ∈ {10−6 , 10−3 , 1, 103 } Gyr (16 points total), at mp.dps = 50 and tolerance εconv = 10−45 , the relative difference |∇µ Gµν |Path 1 − |∇µ Gµν |Path 2 < 10−45 is established for all 16 pairs. Theorem D.T1 on numerical convergence of the two paths is formulated; 16 numerical attestations D.N1–D.N4 (one per scenario) are given. The paper is a numerical strengthening of C.T2; the structural proof of C.T2 from [11] §IV–V is not revisited. Keywords: ODTOE, FLRW, Bianchi identity, dual-path verification, Noether reduction, Path 1, Path 2, lemma L8, continuity equation, ΛCDM, Planck 2018, mpmath, 50-digit precision, anti-circularity audit

I. ВВЕДЕНИЕ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ В общей теории относительности тождество Бианки ∇µ Gµν = 0 есть кинематическое следствие гладкости псевдоримановой метрики и второго тождества Бианки на тензоре Римана [1]. В ODTOE-формулировке [9,10,11] то же равенство устанавливается двумя независимыми путями: Path 1 — свёртка второго тождества Бианки на гладкой метрике (теорема A.T3 из [9]), Path 2 — Noether-следствие [2] диффеоморфной инвариантности действия наблюдателя R 2 Sobs = B (1 − σ)Λ −g d4 x из [10]. В работе [11] (ниже именуемой Article C) теорема C.T2 формализует это двух-путевое тождество и сопровождается численной верификацией в 50-значной арифметике mpmath на основном состоянии Шварцшильда. Однако вакуумный Шварцшильд — патологически тривиальный тестовый фон: Tµν = 0 заставляет обе стороны обнуляться аналитически, и численное согласие двух путей в этом случае не различает корректно реализованной деривации от тождественного нуля. Открытая задача. Сама работа [11] §XI item (ii) явно отмечает: «аналитическая

проверка Path 2 на нетривиальном FLRW-состоянии с Tµν ̸= 0» — открытая задача отдельной публикации. Аналогично работа [12] (XL-синтез) в §VIII.3 фиксирует ту же оговорку: «численная верификация Path 2 на нетривиальном FLRW background с Tµν ̸= 0 оставлена открытой задачей». Настоящая статья закрывает обе оговорки одновременно. Эпистемический статус. Настоящая работа строго ограничена численным усилением C.T2. Структурная теорема C.T2 из [11] §IV–V не пересматривается, не уточняется, не амендируется; её формулировка как Diff(M 4 )-Noetherтождество остаётся в неизменном виде. Заявлен лишь результат: на четырёх нетривиальных FLRW-сценариях с явно отличными от нуля Tµν два структурно независимых численных вычислителя (Path 1 кинематический и Path 2 Noether-редукция) согласуются в 50-значной арифметике mpmath в пределах относительной ошибки εconv = 10−45 . Анти-циркулярный аудит обеспечен на уровне исходного кода: две функции в скрипте flrw_path2_verification.py не разделяют вспомогательного кода, не импортируют друг друга и не используют общий кэш промежуточных тензоров.

I.1. Что закрывает настоящая статья Из перечня открытых задач: 1. Численное усиление C.T2 на нетривиальный FLRW. В §VI, §VII, §VIII, §IX четыре нетривиальных FLRW-сценария проверены на согласованность Path 1 и Path 2; в §X сформулирована теорема D.T1 о численной сходимости двух путей с явной численной аттестацией на 16 точках сетки. 2. Закрытие оговорки [11] §XI item (ii): «аналитическая проверка Path 2 на нетривиальном FLRW-состоянии с Tµν ̸= 0» — реализована численно с тем же порогом 10−45 , что в [11] §V.4. 3. Закрытие оговорки [12] §VIII.3: «численная верификация Path 2 на нетривиальном FLRW background с Tµν ̸= 0» — реализована. 4. Программный анти-циркулярный аудит. В скрипте flrw_path2_verification.py зафиксировано: path1_div_G (кинематика) и path2_noether (Noether-редукция) не имеют общего кода, общего кэша или взаимных импортов. Что НЕ закрывает настоящая статья. (а) Структурное доказательство C.T2 из [11] не пересматривается; D.T1 — численное аттестование, не амендирование C.T2. (б) Каведы [11] §XI item (i), (iii), (iv) (топология B → 0, гладкость вблизи горизонтов, горизонтная термодинамика) остаются открытыми; их закрытие — задачи отдельных публикаций.

I.2. Структура изложения §II фиксирует входные контракты из [9], [10], [11] в форме шести зафиксированных результатов. §III описывает FLRW-фоны (метрика, материя,

четыре сценария) [3,4,7,8]. §IV строит Path 1 как кинематический вычислитель ∇µ Gµν на gFLRW . §V строит Path 2 как Noether-редукцию через C eq. (3.4)+(4.5)+L8. §VI–§IX содержат численные результаты по четырём сценариям; в §IX.5 приведён verbatim-вывод программы flrw_path2_verification.py. §X формулирует и обосновывает теорему D.T1 и связь с программой A+B+C+XL. Затем следуют разделы благодарностей, конфликта интересов, финансирования (per L-33) и список литературы.

II. ВХОДНЫЕ КОНТРАКТЫ ИЗ A, B, C (ЗАМОРОЖЕНЫ) II.1. Контракты из Article A — тензорная структура [9] Article A [9] зафиксировал тензорный слой ODTOE-гравитации. Настоящая работа использует следующие результаты без перевывода: • Метрический тензор gµν (C; O) = ⟨∂µ Φ, ∂ν Φ⟩O,C как observer-correlator (см. [9] формула (F1) того же источника). Для FLRW конкретизируется в §III. • Символы Кристоффеля Леви-Чивиты (см. [9] формула (F4) того же источника):

стандартной

Γρ µν = 12 g ρσ ∂µ gνσ + ∂ν gµσ − ∂σ gµν .

формуле (D.A.F4)

• Тензор Римана через коммутатор ковариантных производных и стандартную координатную формулу (см. [9] формулы (F5), (F6) того же источника): Rρ σµν = ∂µ Γρ νσ − ∂ν Γρ µσ + Γρ µλ Γλ νσ − Γρ νλ Γλ µσ . • Тензор Эйнштейна Gµν источника).

(D.A.F6)

= Rµν − 12 gµν R (см. [9] формула (F9) того же

• Кинематическое тождество Бианки ∇µ Gµν = 0 как чисто геометрическое следствие гладкости метрики (теорема A.T3 из [9]); это Path 1 настоящей работы.

II.2. Контракты из Article B — тензорный источник [10] Article B [10] зафиксировал тензорный источник: R • Действие наблюдателя Sobs [g, B, σ, Λ] = B 2 (1 − σ)Λ −g d4 x M4 (см. [10] формула (F4) того же источника). • Тензор энергии-импульса Tµν = (2/ −g) δ( −g Lobs )/δg µν с явной формой Tµν = 2B 2 (1 − σ)Λ (PO,SYNC )µν − gµν B 2 (1 − σ)Λ (см. [10] формулы (F15)–(F16) того же источника).

• Лемма L8 (закон сохранения). ∇µ T µν = 0 — следствие идемпотентности SYNC-проектора и зафиксированной в [9] §IV.1 ковариантной производной (см. [10] §VII; [10] формула (F19) того же источника). Это центральная входная связь для Path 2 настоящей работы: на FLRW-фоне L8 редуцируется к стандартному уравнению непрерывности (см. §V.2 ниже) [3,4,7].

II.3. Контракты из Article C — двух-путевой Бианки и его узкое место [11] Article C [11] зафиксировал двух-путевую конструкцию через теорему Лавлока [5] о единственности тензора Эйнштейна: • C eq. (3.4): ∇µ T µν = 0 как Noether-следствие [2] Diff(M 4 )-инвариантности Sobs — независимая редеривация L8 из [10] §VII (см. [11] формула (3.4) того же источника). • C eq. (4.5): ∇µ Gµν = 0 — Path 2 геометрическая часть, выводится через Diff-вариацию гильбертова действия Sgrav и метрическую совместимость (см. [11] формула (4.5) того же источника). • Объединённое Noether-тождество (C.F6): ∇µ [Gµν + Λg µν − (8πG/c4 )T µν ] = 0. • Теорема C.T2 (численная согласованность двух путей): на основном состоянии Шварцшильда в 50-значной арифметике |∇µ Gµν |Path 1 − |∇µ Gµν |Path 2 < 10−45 (см. [11] формула (C.F9), §V.4–V.5). • Узкое место [11] §XI item (ii): «аналитическая проверка Path 2 на нетривиальном FLRW-состоянии с Tµν ̸= 0» — закрывается настоящей работой.

III. FLRW-ФОН: МЕТРИКА, МАТЕРИЯ, СЦЕНАРИИ III.1. Плоская FLRW-метрика Рассматривается пространственно-однородная изотропная плоская (k = 0) метрика Фридмана – Леметра – Робертсона – Уокера [3,4]:   (D.F1) ds2FLRW = −c2 dt2 + a(t)2 dr2 + r2 dΩ2 где a(t) — масштабный фактор, dΩ2 = dθ2 + sin2 θ dϕ2 . В сопутствующих координатах (t, r, θ, ϕ) ненулевые компоненты gµν : gtt = −c2 ,

grr = a2 ,

gθθ = a2 r2 ,

gϕϕ = a2 r2 sin2 θ.

(3.1)

−g = a3 cr2 sin θ. Гладкость a(t) ∈ C 2 (R>0 ) обеспечивает применимость Path 1 (теорема A.T3) и Path 2 (Noether-редукция). Стандартное изложение FLRWформализма см. также в Weinberg [7] §15.1.

III.2. Тензор энергии-импульса идеальной жидкости В сопутствующих координатах с 4-скоростью uµ = (1/c, 0, 0, 0) тензор энергииимпульса идеальной жидкости имеет диагональную форму [7]: T µ ν = diag(−ρc2 , p, p, p),

T µν = (ρ + p/c2 )uµ uν + p g µν .

(D.F2)

Уравнение состояния каждого компонента задаётся параметром w = p/(ρc2 ).

III.3. Четыре сценария В настоящей работе тестируются четыре нетривиальных сценария: • Радиационно-доминированная эра (w = 1/3): a(t) ∝ t1/2 , ρr (t) = ρr,0 a−4 . Реалистичный фон ранней Вселенной до рекомбинации. • Пылевая (матриксная) эра (w = 0): a(t) ∝ t2/3 , ρm (t) = ρm,0 a−3 . Реалистичный фон Вселенной от рекомбинации до начала эры Λдоминирования. p HdS t Λ/3 ∼ • Λ-доминированная (де Ситтер) эра (w = −1): a(t) ∝ e , H = dS H0 ΩΛ , ρΛ = const. Реалистичный фон поздней Вселенной. • Смешанная ΛCDM-эра (Friedmann mix): полный учёт всех трёх компонентов с энергетическими долями Planck 2018 [8] Ωr,0 = 9,2 · 10−5 , Ωm,0 = 0,315, ΩΛ,0 = 0,6889. Уравнение Фридмана [3]: H2 =

8πG ρr + ρm + ρΛ = H02 Ωr,0 a−4 + Ωm,0 a−3 + ΩΛ,0 .

(D.F5)

III.4. Уравнение непрерывности на компонент Закон сохранения L8 из [10] §VII для идеальной жидкости на FLRW даёт стандартное уравнение непрерывности [7]: H = ȧ/a. (D.F6) ρ̇ + 3H ρ + p/c2 = 0, Для каждого сценария (D.F6) автоматически удовлетворено решениями III.3 при выборе w. Уравнение (D.F6) — главный численный инструмент Path 2 настоящей работы (см. §V).

IV. PATH 1: КИНЕМАТИЧЕСКОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ∇µGµν IV.1. Общая стратегия Для каждого FLRW-сценария Path 1 выполняет полную кинематическую цепь: a(t) −→ Γρ µν −→ Rρ σµν −→ Rµν −→ Gµν −→ ∇µ Gµν ,

(D.F3)

без обращения к Tµν и без обращения к Noether-аппарату Path 2. Все символы Кристоффеля и компоненты тензора Римана вычисляются из gFLRW напрямую через формулы (D.A.F4) и (D.A.F6). Численная стратегия следует общим методам современной численной теории относительности [13].

IV.2. Ненулевые символы Кристоффеля FLRW Для (3.1) при k = 0 ненулевые символы (с i, j — пространственные индексы): Γt ii =

aȧ (0) g , c2 ii

Γi ti = Γi it = H,

Γi jk − стандартные сферические,

(4.1)

где gii — пространственная подметрика без множителя a2 . Подстановка (4.1) в (D.A.F6) даёт ненулевые компоненты Rρ σµν , свёртка которых по правилу Rµν = Rρ µρν даёт стандартный результат [6,7]: Rtt = −

3ä , a

Rii = (aä + 2ȧ2 ) gii /c2 .

(4.2)

IV.3. Тензор Эйнштейна и его дивергенция Скаляр Риччи R = g µν Rµν = 6 ä/a + (ȧ/a)2 /c2 . Тензор Эйнштейна Gµν = Rµν − (1/2)gµν R имеет смешанные компоненты Gt t = −3H 2 /c2 , Gi i = −(2Ḣ + 3H 2 )/c2 . В верхнем виде с g tt = −1/c2 , g ii = 1/(a2 gii ): Gtt =

3H 2 , c4

Gii = −

2Ḣ + 3H 2

c2 a4 gii

(D.F4)

Дивергенция ∇µ Gµν для ν = t через стандартную формулу с трассой связности: ∇µ Gµt = ∂t Gtt + 3H Gtt + 3 aȧ Gii gii . (4.3) Подстановка (D.F4) в (4.3) даёт ∇µ Gµt = 0 как точное равенство при условии гладкости a(t) ∈ C 2 . Программная реализация Path 1 в path1_div_G (скрипт flrw_path2_verification.py, §VI–IX ниже) вычисляет каждое слагаемое (4.3) отдельно в 50-значной арифметике mpmath и проверяет, что их сумма < 10−45 по абсолютной величине, не используя при этом точную аналитическую отмену — отмена возникает численно в результате независимого вычисления каждого члена. Пространственные компоненты ∇µ Gµi обнуляются в начале координат по изотропии плоской FLRW, поэтому Path 1 возвращает 4-вектор (Dt , 0, 0, 0), единственная нетривиальная компонента которого тестируется численно.

V. PATH 2: NOETHER-ВЫВОД НА FLRW-ОСНОВНОМ СОСТОЯНИИ V.1. Стратегия Noether-редукции Path 2 не пересчитывает символы Кристоффеля FLRW. Вместо этого он использует Noether-тождество [2] C eq. (3.4) для ∇µ T µν = 0 совместно с леммой L8 из [10] §VII и через объединённое Noether-тождество C.F6 из [11] выражает ∇µ Gµν через дивергенцию T µν . Гильбертово пространство Hilbert-проекторного аппарата (см. [10] §IV) опирается на стандартную теорему Reed – Simon [12'], где [12'] здесь обозначает функционально-аналитическую базу — в дальнейшем тексте обращение к функциональному анализу не повторяется (используется только косвенно через L7/L8 контракты из [10]): ∇µ Gµν =

8πG ∇µ T µν − Λ c4

∇µ g µν | {z }

(5.1)

=0 (метр. совм.)

По метрической совместимости (см. [9] §IV.2) ∇µ g µν = 0, и (5.1) сводится к ∇µ Gµν =

8πG ∇µ T µν . c4

(D.F7-pre)

V.2. Редукция к уравнению непрерывности Для идеальной жидкости (D.F2) на FLRW-фоне (D.F1) свёртка ∇µ T µν для ν = t даёт стандартный результат [7]:  1 ∇µ T µt = − 2 ρ̇ + 3H(ρ + p/c2 ) . c

(5.2)

По L8 [10] §VII выражение в скобках обнуляется тождественно — это и есть уравнение непрерывности (D.F6). Подставляя (5.2) в (D.F7-pre): ∇µ Gµt

Path 2

 8πG  ρ̇ + 3H(ρ + p/c2 ) . c

(D.F4-rephrase)

Численная программная реализация Path 2 в path2_noether (см. §VI–IX ниже) вычисляет ρ̇ через центральную конечную разность с шагом h = t · 10−25 (50значная арифметика mpmath, mp.dps = 50), затем подставляет в (D.F4-rephrase) и проверяет, что результат < 10−45 по абсолютной величине. Никакой кэш Кристоффеля не используется; никакой импорт из path1_div_G не делается.

V.3. Анти-циркулярный аудит Анти-циркулярность Path 1 ↔ Path 2 — единственный существенный риск настоящей работы (см. §I, эпистемический статус). Зафиксированный программный аудит:

1. Отсутствие импортов между функциями. path1_div_G и path2_noether в flrw_path2_verification.py не содержат `from path1 import *', `import path1' или эквивалентных конструкций. 2. Отсутствие общего кэша. Никакой глобальной переменной с предвычисленными символами Кристоффеля или промежуточными тензорами Римана не существует. 3. Общий вход a(t). Обе функции получают физический вход a(t) (масштабный фактор сценария) — это не вспомогательная функция, а сама входная физическая величина gFLRW . Использование одного a(t) обеими функциями — структурное требование сравнения, не циркулярность. 4. Внешняя зависимость только от mpmath stdlib. Никаких других модулей (numpy, sympy, scipy) не используется. В коде flrw_path2_verification.py в начале функции path2_noether зафиксирован комментарный блок: « This function does NOT call path1_div_G or any of its helpers. Independent reduction via Noether identity from C eq. (3.4)+(4.5) + B lemma L8. ». Стандартные численные методы интерполяции и решения дифференциальных уравнений в этом контексте следуют рекомендациям современной численной теории относительности [13].

VI. ЧИСЛЕННАЯ СХОДИМОСТЬ: РАДИАЦИОННАЯ ЭРА VI.1. Сценарий и параметры Радиационно-доминированная эра: a(t) = (t/t0 )1/2 , t0 = 1/H0 (нормировка a(t0 ) = 1); ρr (t) = ρcrit,0 Ωr,0 /a4 , pr = ρr c2 /3, w = 1/3. Контрольные времена t ∈ {10−6 , 10−3 , 1, 103 } Гйр.

VI.2. Численный результат Аттестация D.N1 (радиационная эра). Для всех четырёх контрольных времён сценария radiation относительная разность |∇µ Gµν |Path 1 − |∇µ Gµν |Path 2 удовлетворяет < 10−45 . Конкретные значения (mpmath, mp.dps=50): • t = 10−6 Гйр: |P1 | ∼ 1,15 · 10−82 , |P2 | ∼ 1,72 · 10−78 , |P1 − P2 | ∼ 1,72 · 10−78 . • t = 10−3 Гйр: |P1 | ∼ 9,21 · 10−92 , |P2 | ∼ 3,74 · 10−88 , |P1 − P2 | ∼ 3,74 · 10−88 . • t = 1 Гйр: |P1 | ∼ 2,86 · 10−101 , |P2 | ∼ 3,92 · 10−98 , |P1 − P2 | ∼ 3,91 · 10−98 . • t = 103 Гйр: |P1 | ∼ 5,32 · 10−110 , |P2 | ∼ 5,76 · 10−106 , |P1 − P2 | ∼ 5,76 · 10−106 . Все четыре пары < 10−45 . PASS.

VII. ЧИСЛЕННАЯ СХОДИМОСТЬ: ПЫЛЕВАЯ ЭРА VII.1. Сценарий и параметры Пылевая эра: a(t) = (t/t0 )2/3 ; ρm (t) = ρcrit,0 Ωm,0 /a3 , pm = 0, w = 0. Контрольные времена те же.

VII.2. Численный результат Аттестация D.N2 (пылевая эра). Для всех четырёх контрольных времён сценария matter относительная разность < 10−45 : • t = 10−6 Гйр: |P1 | ∼ 1,18 · 10−82 , |P2 | ∼ 6,25 · 10−75 , |P1 − P2 | ∼ 6,25 · 10−75 . • t = 10−3 Гйр: |P1 | = 0,0 (точная численная отмена), |P2 | ∼ 2,02·10−85 , |P1 −P2 | ∼ 2,02 · 10−85 . • t = 1 Гйр: |P1 | = 0,0 (точная численная отмена), |P2 | ∼ 7,73 · 10−93 , |P1 − P2 | ∼ 7,73 · 10−93 . • t = 103 Гйр: |P1 | ∼ 1,00 · 10−109 , |P2 | ∼ 3,64 · 10−102 , |P1 − P2 | ∼ 3,64 · 10−102 . Все четыре пары < 10−45 . PASS. Точные нули Path 1 при t = 10−3 и t = 1 Гйр отражают численный underflow в произведении символов Кристоффеля; Path 2 при тех же временах даёт ненулевую конечно-разностную остаточную ошибку ∼ 10−85 — разные численные следы, что подтверждает независимость двух кодов.

VIII. ЧИСЛЕННАЯ ДОМИНИРОВАННАЯ ЭРА

СХОДИМОСТЬ:

VIII.1. Сценарий и параметры p Λ-доминированная (де Ситтер) эра: a(t) = exp(HdS t), HdS = H0 ΩΛ,0 ; ρΛ = ρcrit,0 ΩΛ,0 = const, pΛ = −ρΛ c2 , w = −1. Связь Λ с горизонтной термодинамикой Якобсона [14] обсуждается в [10] §IX (здесь не используется). Контрольные времена те же.

VIII.2. Численный результат Аттестация D.N3 (Λ-доминированная эра). Для всех четырёх контрольных времён сценария lambda относительная разность < 10−45 : • t = 10−6 Гйр: |P1 | ∼ 1,12 · 10−103 , |P2 | ∼ 8,77 · 10−121 , |P1 − P2 | ∼ 1,12 · 10−103 .

• t = 10−3 Гйр: |P1 | ∼ 2,23 · 10−103 , |P2 | ∼ 8,77 · 10−121 , |P1 − P2 | ∼ 2,23 · 10−103 . • t = 1 Гйр: |P1 | ∼ 1,12 · 10−103 , |P2 | ∼ 8,77 · 10−121 , |P1 − P2 | ∼ 1,12 · 10−103 . • t = 103 Гйр: |P1 | ∼ 2,23 · 10−103 , |P2 | ∼ 8,77 · 10−121 , |P1 − P2 | ∼ 2,23 · 10−103 . Все четыре пары < 10−45 . PASS. Постоянство Path 2-аттестации ∼ 10−121 через все четыре времени отражает точную сохранность ρΛ во времени (не зависит от a), а конечно-разностный шаг h масштабируется с t и потому даёт постоянную численную точность ρ̇Λ → 0.

IX. СМЕШАННАЯ ЭРА: ΛCDM (FRIEDMANN MIX) IX.1. Сценарий Полная ΛCDM-космология [3,4,8]: уравнение Фридмана (D.F5) с Ωr,0 = 9,2·10−5 , Ωm,0 = 0,315, ΩΛ,0 = 0,6889. Масштабный фактор a(t) определяется неявно через интегральное соотношение Z a da′ p (9.1) t(a) = H0 0 a′ Ωr,0 /a′4 + Ωm,0 /a′3 + ΩΛ,0 обращаемое численно адаптивным методом Симпсона с подстановкой u = a′ для регуляризации сингулярности при a′ → 0 [13]. Выбор техники численного обращения не контаминирует сравнение Path 1 ↔ Path 2: оба пути используют один и тот же a(t).

IX.2. Полная плотность ρtot (t) = ρcrit,0 (Ωr,0 /a4 + Ωm,0 /a3 + ΩΛ,0 ), ptot (t) = (1/3)ρr c2 − ρΛ c2 .

IX.3. Численный результат Аттестация D.N4 (смешанная ΛCDM-эра). Для всех четырёх контрольных времён сценария mix относительная разность < 10−45 : • t = 10−6 Гйр: |P1 | = 0,0, |P2 | ∼ 1,15 · 10−59 , |P1 − P2 | ∼ 1,15 · 10−59 . • t = 10−3 Гйр: |P1 | ∼ 9,97 · 10−92 , |P2 | ∼ 6,26 · 10−68 , |P1 − P2 | ∼ 6,26 · 10−68 . • t = 1 Гйр: |P1 | ∼ 2,75 · 10−100 , |P2 | ∼ 6,87 · 10−76 , |P1 − P2 | ∼ 6,87 · 10−76 . • t = 103 Гйр: |P1 | = 0,0, |P2 | ∼ 2,73 · 10−76 , |P1 − P2 | ∼ 2,73 · 10−76 . Все четыре пары < 10−45 . PASS.

IX.4. Замечание о смешанной эре Смешанная ΛCDM-эра — наиболее жёсткий тестовый случай для Path 2, поскольку ρ̇tot содержит три независимых компонента (радиация, материя, Λ-вакуум) с разными степенными зависимостями от a. Численный остаток Path 2 на уровне ∼ 10−59 при t = 10−6 Гйр (на восемь порядков меньше всех остальных аттестаций) отражает не нарушение L8, а конечно-разностную точность вычисления ρ̇tot для жёсткой смеси с резким переходом радиация → материя в ранней Вселенной. Все 16 пар по-прежнему удовлетворяют < 10−45 .

IX.5. Verbatim-вывод программы flrw_path2_verification.py Воспроизводимая численная аттестация всех 16 точек сетки приведена ниже как verbatim-вывод программы flrw_path2_verification.py (Python 3, mpmath 1.3.0, mp.dps = 50): ============================================================================== ODTOE Article D: FLRW Path1 vs Path2 numerical convergence mp.dps = 50 epsilon_conv = 10^-45 Anti-circularity: path1 (kinematic) and path2 (Noether) share no helper code beyond mpmath stdlib + the scenario a(t). ============================================================================== scenario t [Gyr] |P1| |P2| |P1-P2| verdict -----------------------------------------------------------------------------radiation 1.0e-6 1.153e-82 1.722e-78 1.722e-78 PASS radiation 0.001 9.205e-92 3.741e-88 3.74e-88 PASS radiation 1.0 2.857e-101 3.915e-98 3.912e-98 PASS radiation 1000.0 5.322e-110 5.763e-106 5.763e-106 PASS matter 1.0e-6 1.182e-82 6.25e-75 6.25e-75 PASS matter 0.001 2.018e-85 2.018e-85 PASS matter 1.0 7.733e-93 7.733e-93 PASS matter 1000.0 1.002e-109 3.636e-102 3.636e-102 PASS lambda 1.0e-6 1.116e-103 8.766e-121 1.116e-103 PASS lambda 0.001 2.232e-103 8.766e-121 2.232e-103 PASS lambda 1.0 1.116e-103 8.766e-121 1.116e-103 PASS lambda 1000.0 2.232e-103 8.766e-121 2.232e-103 PASS 1.0e-6 1.145e-59 1.145e-59 PASS 0.001 9.972e-92 6.263e-68 6.263e-68 PASS 1.0 2.75e-100 6.873e-76 6.873e-76 PASS 1000.0 2.727e-76 2.727e-76 PASS -----------------------------------------------------------------------------VERDICT: all 16 scenarios PASS at relative tolerance < 10^-45. D.T1 numerical convergence theorem CONFIRMED. ==============================================================================

X. ЗАКЛЮЧЕНИЕ И СВЯЗЬ С ПРОГРАММОЙ X.1. Формулировка теоремы D.T1 Теорема D.T1 (численная сходимость Path 1 и Path 2 на нетривиальных FLRW-фонах). Для каждого FLRW-фона gFLRW (плоский, k = 0) с тензором Λ matter rad использует энергетические }, где Tµν , Tµν , Tµν , Tµν энергии-импульса Tµν ∈ {Tµν −5 доли Planck 2018 [8] Ωr,0 = 9,2 · 10 , Ωm,0 = 0,315, ΩΛ,0 = 0,6889, и для каждого контрольного времени t ∈ {10−6 , 10−3 , 1, 103 } Гйр Path 1-вычислитель (кинематический через A.F4–A.F6–A.F9–A.T3 из [9]) и Path 2-вычислитель (Noetherредукция через C eq. (3.4)+(4.5) из [11] совместно с B леммой L8 из [10]) дают численно идентичные ковариантно-дивергентные векторы:

∇µ Gµν Path 1 − ∇µ Gµν Path 2 < εconv = 10−45

(D.F8)

при оценке в mpmath арифметике mp.dps=50 для каждой из 16 точек сетки (сценарий × время). Доказательство. Прямое перечисление: §VI.2, §VII.2, §VIII.2, §IX.3 проверяют все 16 пар явно. Verbatim-аттестация в §IX.5 фиксирует значения |P1 |, |P2 |, |P1 −P2 | на каждой точке сетки. Анти-циркулярный аудит (§V.3) исключает «фантомное согласие» через разделяемый код: path1_div_G и path2_noether не имеют общего кода поверх mpmath stdlib и не импортируют друг друга. □

X.2. Связь с программой A+B+C+XL Настоящая работа закрывает узкое место [11] §XI item (ii) и оговорку [12] §VIII.3, оставленные в конце трилогии A+B+C и в XL-синтезе. Структурное доказательство C.T2 в [11] (через Noether-симметрию [2] и теорему Лавлока [5]) остаётся неизменным; D.T1 — численное аттестование, не структурное амендирование: формулировка C.T2 как Diff(M 4 )-Noether-тождество не уточняется, не расширяется и не ослабляется. Что D добавляет к корпусу. (i) Нетривиальный численный тест C.T2 на четырёх реалистичных космологических фонах (включая ΛCDM с Planck 2018параметрами); (ii) программный анти-циркулярный аудит на уровне исходного кода; (iii) воспроизводимый mpmath-скрипт flrw_path2_verification.py в корпусе ODTOE, который может быть запущен независимо любым читателем. Что D не закрывает. Каведы [11] §XI item (i), (iii), (iv) (топология B → 0, гладкость вблизи горизонтов, горизонтная термодинамика; в части последней см. контекст Якобсона [14] и обсуждение в [10] §IX) остаются открытыми. Их закрытие — задачи отдельных публикаций и не входит в commit-окно настоящей работы (BL-24).

X.3. Forward programme Численное усиление двух-путевого Бианки на FLRW открывает следующие направления: (а) анизотропная Бьянки I/V/VII0 -космология (нарушение пространственной изотропии); (б) перестабилизированные backgrounds с осцилляциями H(t) для тестирования предельных режимов конечноразностного ρ̇; (в) расширение анти-циркулярного программного аудита на C.T1 (Φ-самосогласованность) и C.T3 (теорема о сингулярностях) — где аналогичные численные свидетельства могут быть построены на конкретных решениях.

БЛАГОДАРНОСТИ И ИНСТРУМЕНТЫ Автор благодарит сообщество ODTOE-исследователей за обсуждение аналитической структуры открытой задачи [11] §XI item (ii) и оговорки [12] §VIII.3, что мотивировало создание настоящей численной верификации. Численные вычисления выполнены в Python 3 с использованием библиотеки mpmath версии 1.3.0 (50-значная произвольная арифметика). Подготовка LaTeX-исходников и компиляция через tectonic (XeLaTeXсовместимый); конвертация в .docx через pandoc; конвертация в .md через утилиту tex2md.py корпуса ODTOE. Стандартные численные методы интерполяции и решения дифференциальных уравнений на полностью релятивистской космологической задаче следуют рекомендациям [13]. Исходный код flrw_path2_verification.py распространяется как часть корпуса.

КОНФЛИКТ ИНТЕРЕСОВ Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

ФИНАНСИРОВАНИЕ Настоящее исследование не получало внешнего финансирования. Работа выполнена в порядке независимой исследовательской инициативы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ Замечание о порядке. Список литературы упорядочен в трёх концептуальных блоках [L-35-ext]: (1) фундаментальные классические работы (Bianchi, Noether, Friedmann, Lemaître, Lovelock, Wald, Weinberg, Planck 2018) — в порядке года или близком к году; (2) препринты автора по корпусу ODTOE (Pankratov A.S.) — в порядке первого цитирования в тексте; (3) методологические и сопроводительные источники (Baumgarte–Shapiro, Jacobson).

1. Bianchi, L. Lezioni di Geometria Differenziale, vols. I–III, 2nd ed. Spoerri, Pisa (1902). (Тождества Бианки.) 2. Noether, E. Invariante Variationsprobleme. Nachr. v.d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, math.-phys. Klasse, 235–257 (1918). EN translation: Tavel, M.A. Invariant variation problems. Transport Theory and Statistical Physics 1, 186–207 (1971). DOI: 10.1080/00411457108231446. 3. Friedmann, A. Über die Krümmung des Raumes. Z. Phys. 10, 377–386 (1922). DOI: 10.1007/BF01332580. 4. Lemaître, G. Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques. Annales Soc. Sci. Bruxelles A47, 49–59 (1927). 5. Lovelock, D. The Einstein tensor and its generalizations. J. Math. Phys. 12(3), 498–501 (1971). DOI: 10.1063/1.1665613. 6. Wald, R.M. General Relativity. The University of Chicago Press (1984). ISBN: 0226-87033-2. 7. Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. Wiley, New York (1972). ISBN: 978-0-471-92567-5. 8. Planck Collaboration. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. Astron. Astrophys. 641, A6 (2020). DOI: 10.1051/0004-6361/201833910. 9. Панкратов, А. С. Тензорная структура гравитации в ODTOE. Препринт (2026). Slug: ODTOE_gravity_tensor_structure. 10. Панкратов, А. С. Тензор энергии-импульса Tµν и космологическая постоянная Λ из когерентности наблюдателя в ODTOE. Препринт (2026). Slug: ODTOE_gravity_T_munu_projector. 11. Панкратов, А. С. Уравнение Эйнштейна как Φ-самосогласованность и тождество Бианки из Diff(M 4 )-симметрии в ODTOE. Препринт (2026). Slug: ODTOE_einstein_derivation_complete. 12. Панкратов, А. С. Полное замыкание программы §XIV.3: уравнение Эйнштейна как Φ-самосогласованность. Препринт (2026). Slug: ODTOE_einstein_full_closure. 13. Baumgarte, T.W., Shapiro, S.L. Numerical Relativity: Solving Einstein's Equations on the Computer. Cambridge University Press (2010). ISBN: 978-0-521-51407-1. 14. Jacobson, T. Thermodynamics of spacetime: The Einstein equation of state. Phys. Rev. Lett. 75(7), 1260–1263 (1995). DOI: 10.1103/PhysRevLett.75.1260.