ODTOE中非平凡FLRW背景上双路径比安基数值验证

在ODTOE（观察者依赖的万物理论）框架下非平凡FLRW背景上双路径比安基恒等式的数值验证 (NUMERICAL DUAL-PATH BIANCHI VERIFICATION ON NONTRIVIAL FLRW BACKGROUNDS IN ODTOE) ——将C.T2定理从真空史瓦西解推广至辐射主导、物质主导、Λ主导及混合ΛCDM时期，精度达50位有效数字

Pankratov Anton Sergeevich Панкратов Антон Сергеевич 独立研究员，俄罗斯喀山 E-mail: [email protected] ORCID: 0009-0002-4870-2995

UDC 530.12 + 524.85 + 519.6

摘要 本文同时关闭了文献[11] §XI中的待解问题(ii)以及文献[12] §VIII.3中的悬而未决之处：将双路径比安基恒等式 $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$（文献[11]定理C.T2）的数值验证从真空平凡的史瓦西背景（两侧均自动归零）推广至四个非平凡的FLRW场景（$T_{\mu\nu} \neq 0$）：辐射主导时期（$a \propto t^{1/2}$，$p = \rho/3$）、物质主导时期（$a \propto t^{2/3}$，$p = 0$）、$\Lambda$主导时期（$a \propto e^{Ht}$，$p = -\rho c^2$），以及采用Planck 2018 [8]能量分数 $\Omega_{r,0} = 9.2 \cdot 10^{-5}$、$\Omega_{m,0} = 0.315$、$\Omega_{\Lambda,0} = 0.6889$ 的混合ΛCDM时期。对每个背景构建了两个结构独立的数值计算器：路径1（Path 1）——运动学链 $a(t) \to \Gamma \to R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} \to R_{\mu\nu} \to G_{\mu\nu} \to \nabla^\mu G_{\mu\nu}$，依据文献[9]的公式(F4)、(F6)、(F9)及定理A.T3；路径2（Path 2）——通过文献[11]中 $S_\mathrm{obs}$ 的微分同胚不变性（方程(3.4)和(4.5)）结合文献[10]引理L8，进行Noether约化，最终归结为连续性方程 $\dot\rho + 3H(\rho + p/c^2) = 0$。反循环性审计在程序层面严格执行：脚本 `flrw_path2_verification.py` 中的函数 `path1_div_G` 与 `path2_noether` 除 `mpmath` 标准库外不共享任何辅助代码，不共享Christoffel符号缓存，也不相互导入。在4个场景 × 4个测试时刻 $t \in \{10^{-6}, 10^{-3}, 1, 10^3\}$ Gyr（共16个点）的网格上，以 `mp.dps = 50`、容差 $\varepsilon_\mathrm{conv} = 10^{-45}$，对所有16对均确立了 $|\nabla^\mu G_{\mu\nu}|_{\mathrm{Path\,1}} - |\nabla^\mu G_{\mu\nu}|_{\mathrm{Path\,2}} < 10^{-45}$。本文给出了关于两路径数值收敛性的定理D.T1，以及16条数值证明D.N1–D.N4（每个场景一条）。本文是对C.T2的数值强化；文献[11] §IV–V中C.T2的结构性证明不作重新审视。关键词： ODTOE，FLRW，比安基恒等式，双路径验证，Noether约化，路径1，路径2，引理L8，连续性方程，ΛCDM，Planck 2018，mpmath，50位精度，反循环性审计

摘要（俄文） В настоящей работе закрывается открытая задача (ii) из [11] §XI и оговорка [12] §VIII.3: численная верификация двух-путевого тождества Бианки $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$ (теорема C.T2 из [11]) расширяется от вакуум-тривиального фона Шварцшильда, на котором обе стороны обнуляются автоматически, до четырёх нетривиальных FLRW-сценариев с $T_{\mu\nu} \neq 0$: радиационно-доминированная эра ($a \propto t^{1/2}$, $p = \rho/3$), пылевая эра ($a \propto t^{2/3}$, $p = 0$), $\Lambda$-доминированная эра ($a \propto e^{Ht}$, $p = -\rho c^2$) и смешанная ΛCDM-эра с энергетическими долями Planck 2018 [8] $\Omega_{r,0} = 9.2 \cdot 10^{-5}$, $\Omega_{m,0} = 0.315$, $\Omega_{\Lambda,0} = 0.6889$. Для каждого фона построены два структурно независимых вычислителя: Path 1 — кинематическая цепь $a(t) \to \Gamma \to R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} \to R_{\mu\nu} \to G_{\mu\nu} \to \nabla^\mu G_{\mu\nu}$ через формулы (F4), (F6), (F9) и теорему A.T3 из [9]; Path 2 — Noether-редукция через диффеоморфную инвариантность $S_\mathrm{obs}$ из C eq. (3.4) и (4.5) совместно с леммой L8 из [10], сводящаяся к закону непрерывности $\dot\rho + 3H(\rho + p/c^2) = 0$. Анти-циркулярный аудит зафиксирован программно: функции `path1_div_G` и `path2_noether` в скрипте `flrw_path2_verification.py` не разделяют вспомогательного кода поверх `mpmath` stdlib и не импортируют друг друга. На сетке 4 сценария × 4 контрольных времени $t \in \{10^{-6}, 10^{-3}, 1, 10^3\}$ Гйр (всего 16 точек) при `mp.dps = 50` относительная разность $|\nabla^\mu G_{\mu\nu}|_{\mathrm{Path\,1}} - |\nabla^\mu G_{\mu\nu}|_{\mathrm{Path\,2}} < 10^{-45}$ установлена для всех 16 пар. Сформулирована теорема D.T1; даны 16 численных свидетельств D.N1–D.N4. Работа представляет численное усиление C.T2; структурное доказательство C.T2 из [11] §IV–V не пересматривается. Ключевые слова: ODTOE，FLRW，тождество Бианки，двух-путевая верификация，Noether-редукция，лемма L8，уравнение непрерывности，ΛCDM，Planck 2018，mpmath，50-значная точность，анти-циркулярный аудит

I. 引言与问题陈述

在广义相对论中，比安基恒等式 $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$ 是伪黎曼度规光滑性以及黎曼张量第二比安基恒等式的运动学推论[1]。在ODTOE表述[9,10,11]中，同一等式沿两条独立路径建立：路径1——光滑度规上第二比安基恒等式的缩并（文献[9]定理A.T3）；路径2——文献[10]中观测者作用量 $S_\mathrm{obs} = \int_B (1-\sigma)\Lambda\sqrt{-g}\,d^4x$ 的微分同胚不变性所蕴含的Noether[2]推论。文献[11]（下称论文C）中定理C.T2形式化了这一双路径恒等式，并在史瓦西基态上以50位mpmath算术进行了数值验证。

然而，真空史瓦西解是一个病态平凡的测试背景：$T_{\mu\nu} = 0$ 迫使两侧解析地为零，两路径在此情形下的数值一致并不能区分正确实现的推导与恒等于零的结果。

待解问题。 文献[11] §XI第(ii)条明确指出："在非平凡FLRW态（$T_{\mu\nu} \neq 0$）上对路径2的解析验证"——这是留待单独发表的待解问题。类似地，文献[12]（XL综合）§VIII.3记录了同一未竟之处："在非平凡FLRW背景（$T_{\mu\nu} \neq 0$）上对路径2的数值验证留作待解问题"。本文同时关闭上述两个未竟之处。

认知地位。 本文严格限于对C.T2的数值强化。文献[11] §IV–V中定理C.T2的结构性证明不作重新审视、精化或修订；其作为Diff($M^4$)-Noether恒等式的表述保持不变。唯一的主张是：在四个具有显式非零 $T_{\mu\nu}$ 的非平凡FLRW场景上，两个结构独立的数值计算器（路径1运动学计算器和路径2 Noether约化计算器）在50位mpmath算术精度下、相对容差 $\varepsilon_\mathrm{conv} = 10^{-45}$ 内相互一致。反循环性审计在源代码层面执行：脚本 `flrw_path2_verification.py` 中的两个函数不共享任何辅助代码，不相互导入，也不使用中间张量的公共缓存。

I.1. 本文关闭的内容

从待解任务清单来看：

1. 将C.T2的数值强化推广至非平凡FLRW。在§VI、§VII、§VIII、§IX中，对路径1/路径2一致性测试了四个非平凡FLRW场景；在§X中，给出了定理D.T1（关于数值收敛性），附有16点网格上的显式数值证明。
2. 关闭文献[11] §XI第(ii)条的未竟之处："在非平凡FLRW态（$T_{\mu\nu} \neq 0$）上对路径2的解析验证"——以同文献[11] §V.4相同的阈值 $10^{-45}$ 进行数值实现。
3. 关闭文献[12] §VIII.3的未竟之处："在非平凡FLRW背景（$T_{\mu\nu} \neq 0$）上对路径2的数值验证"——已实现。
4. 程序化反循环性审计。在脚本 `flrw_path2_verification.py` 中强制确保 `path1_div_G`（运动学）与 `path2_noether`（Noether约化）不共享任何代码、缓存，也不相互导入。

本文未关闭的内容。 (a) 文献[11]中C.T2的结构性证明不作重新审视；D.T1是数值证明，而非对C.T2的修订。(b) 文献[11] §XI第(i)、(iii)、(iv)条的未竟之处（$B \to 0$ 的拓扑结构、视界附近的光滑性、视界热力学）仍悬而未决；其关闭是另行发表的专项工作。

I.2. 本文结构

§II以六条冻结结果的形式固定来自[9]、[10]、[11]的输入约定。§III描述FLRW背景（度规、物质、四个场景）[3,4,7,8]。§IV将路径1构造为 $\nabla^\mu G_{\mu\nu}$ 在 $g_\mathrm{FLRW}$ 上的运动学计算器。§V将路径2构造为通过C方程(3.4)+(4.5)+L8进行的Noether约化计算器。§VI–§IX给出四个场景的数值结果；§IX.5包含 `flrw_path2_verification.py` 的原始标准输出。§X给出并论证定理D.T1及其与A+B+C+XL纲领的关联。其后依次为致谢、利益冲突声明、资助声明（依L-33）及参考文献。

II. 来自A、B、C的冻结约定

II.1. 来自论文A的约定——张量结构[9]

论文A [9] 固定了ODTOE引力的张量层。本文在不重新推导的情况下使用以下结果：

• 度规张量 $g_{\mu\nu}(C; O) = \langle \partial_\mu \Phi, \partial_\nu \Phi \rangle_{O,C}$ 作为观测者关联子（参见[9]同文献公式(F1)）。在§III中专化为FLRW形式。
• Levi-Civita Christoffel符号依标准公式（参见[9]同文献公式(F4)）：

$$(D.A.F4) \quad \Gamma^\rho{}_{\mu\nu} = \tfrac{1}{2} g^{\rho\sigma}\!\left(\partial_\mu g_{\nu\sigma} + \partial_\nu g_{\mu\sigma} - \partial_\sigma g_{\mu\nu}\right).$$

- 黎曼张量通过协变导数的对易子及标准坐标公式（参见[9]同文献公式(F5)、(F6)）：

$$R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu \Gamma^\rho{}_{\nu\sigma} - \partial_\nu \Gamma^\rho{}_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho{}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho{}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda{}_{\mu\sigma}.$$

(D.A.F6)

• 爱因斯坦张量 $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2}g_{\mu\nu}R$（参见[9]同文献公式(F9)）。
• 运动学比安基恒等式 $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$ 作为度规光滑性的纯几何推论（文献[9]定理A.T3）；这是本文的路径1。

II.2. 来自论文B的约定——张量源[10]

论文B [10] 固定了张量源：

- 观测者作用量

$S_\mathrm{obs}[g, B, \sigma, \Lambda] = \int_{M^4}$

$B^2(1-\sigma)\Lambda\sqrt{-g}\,d^4x$（参见[10]同文献公式(F4)）。

• 应力-能量张量 $T_{\mu\nu} = (2/\sqrt{-g})\,\delta(\sqrt{-g}\,\mathcal{L}_\mathrm{obs})/\delta g^{\mu\nu}$，其显式形式为 $T_{\mu\nu} = 2B^2(1-\sigma)\Lambda\,(P_{O,\mathrm{SYNC}})_{\mu\nu} - g_{\mu\nu} B^2(1-\sigma)\Lambda$（参见[10]同文献公式(F15)–(F16)）。
• 引理L8（守恒律）。$\nabla^\mu T^\mu{}_\nu = 0$——这是文献[9] §IV.1中固定的SYNC投影算符幂等性与协变导数的推论（参见[10] §VII；[10]同文献公式(F19)）。这是本文路径2的核心输入链节：在FLRW背景上，L8约化为标准连续性方程（参见下文§V.2）[3,4,7]。

II.3. 来自论文C的约定——双路径比安基及其瓶颈[11]

论文C [11] 通过Lovelock关于爱因斯坦张量唯一性的定理[5]固定了双路径构造：

• C方程(3.4)：$\nabla^\mu T^\mu{}_\nu = 0$ 作为 $S_\mathrm{obs}$ 的 $\mathrm{Diff}(M^4)$ 不变性所蕴含的Noether推论[2]——对文献[10] §VII中L8的独立重新推导（参见[11]同文献公式(3.4)）。
• C方程(4.5)：$\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$——路径2的几何部分，通过Hilbert作用量 $S_\mathrm{grav}$ 的微分同胚变分及度规相容性推导（参见[11]同文献公式(4.5)）。
• 合并Noether恒等式(C.F6)：$\nabla^\mu[G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} - (8\pi G/c^4)T_{\mu\nu}] = 0$。
• 定理C.T2（两路径数值一致性）：在史瓦西基态上，以50位算术精度，$|\nabla^\mu G_{\mu\nu}|_{\mathrm{Path\,1}} - |\nabla^\mu G_{\mu\nu}|_{\mathrm{Path\,2}} < 10^{-45}$（参见[11]公式(C.F9)，§V.4–V.5）。
• 瓶颈[11] §XI第(ii)条："在非平凡FLRW态（$T_{\mu\nu} \neq 0$）上对路径2的解析验证"——由本文关闭。

III. FLRW场景：背景、度规、物质

III.1. 平坦FLRW度规

考虑空间均匀各向同性的平坦（$k=0$）Friedmann–Lemaître–Robertson–Walker度规[3,4]：

$$ds^2_\mathrm{FLRW} = -c^2 dt^2 + a(t)^2\!\left(dr^2 + r^2 d\Omega^2\right) \tag{D.F1}$$

其中 $a(t)$ 为尺度因子，$d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\!\theta\, d\varphi^2$。在共动坐标 $(t, r, \theta, \varphi)$ 下，$g_{\mu\nu}$ 的非零分量为：

$$g_{tt} = -c^2, \quad g_{rr} = a^2, \quad g_{\theta\theta} = a^2 r^2, \quad g_{\varphi\varphi} = a^2 r^2 \sin^2\!\theta. \tag{3.1}$$

$\sqrt{-g} = a^3 c r^2 \sin\theta$。光滑性 $a(t) \in C^2(\mathbb{R}_{>0})$ 确保路径1（定理A.T3）和路径2（Noether约化）的可适用性。标准FLRW形式体系亦见Weinberg [7] §15.1。

III.2. 完美流体的应力-能量张量

在共动坐标下，取四速度 $u^\mu = (1/c, 0, 0, 0)$，完美流体的应力-能量张量具有对角形式[7]：

$$T^\mu{}_\nu = \mathrm{diag}(-\rho c^2, p, p, p), \qquad T^{\mu\nu} = (\rho + p/c^2)u^\mu u^\nu + p\, g^{\mu\nu}. \tag{D.F2}$$

各成分的状态方程由参数 $w = p/(\rho c^2)$ 给出。

III.3. 四个场景

本文测试四个非平凡场景：

• 辐射主导时期（$w = 1/3$）：$a(t) \propto t^{1/2}$，$\rho_r(t) = \rho_{r,0}\, a^{-4}$。早期宇宙复合前的真实背景。
• 物质主导（尘埃）时期（$w = 0$）：$a(t) \propto t^{2/3}$，$\rho_m(t) = \rho_{m,0}\, a^{-3}$。从复合到Λ主导开始的宇宙真实背景。
• Λ主导（de Sitter）时期（$w = -1$）：$a(t) \propto e^{H_\mathrm{dS} t}$，$H_\mathrm{dS} = \sqrt{\Lambda/3} \sim H_0\sqrt{\Omega_\Lambda}$，$\rho_\Lambda = \mathrm{const}$。晚期宇宙的真实背景。
• 混合ΛCDM时期（Friedmann混合）：采用Planck 2018 [8]能量分数 $\Omega_{r,0} = 9.2 \cdot 10^{-5}$、$\Omega_{m,0} = 0.315$、$\Omega_{\Lambda,0} = 0.6889$，对全部三个成分进行完整考量。Friedmann方程[3]：

$$H^2 = \frac{8\pi G}{3}\left(\rho_r + \rho_m + \rho_\Lambda\right) = H_0^2\!\left(\Omega_{r,0} a^{-4} + \Omega_{m,0} a^{-3} + \Omega_{\Lambda,0}\right). \tag{D.F5}$$

III.4. 各成分连续性方程

文献[10] §VII中守恒律L8应用于FLRW上的完美流体，给出标准连续性方程[7]：

$$\dot\rho + 3H\!\left(\rho + p/c^2\right) = 0, \qquad H = \dot a/a. \tag{D.F6}$$

对III.3中每个场景，(D.F6)由具有相应 $w$ 的解自动满足。方程(D.F6)是本文路径2的主要数值工具（见§V）。

IV. 路径1：$\nabla^\mu G_{\mu\nu}$ 的运动学计算

IV.1. 总体策略

对每个FLRW场景，路径1执行完整的运动学链：

$$a(t) \longrightarrow \Gamma^\rho{}_{\mu\nu} \longrightarrow R^\rho{}_{\sigma\mu\nu} \longrightarrow R_{\mu\nu} \longrightarrow G_{\mu\nu} \longrightarrow \nabla^\mu G_{\mu\nu}, \tag{D.F3}$$

不参考任何 $T_{\mu\nu}$，也不参考路径2的Noether装置。所有Christoffel符号和黎曼张量分量均直接由 $g_\mathrm{FLRW}$ 通过公式(D.A.F4)和(D.A.F6)计算。数值策略遵循现代数值相对论的通行方法[13]。

IV.2. FLRW的非零Christoffel符号

对(3.1)，在 $k=0$ 时，非零符号（其中 $i, j$ 为空间指标）为：

$$\Gamma^t{}_{ii} = \frac{a\dot a}{c^2}\, g^{(0)}_{ii}, \qquad \Gamma^i{}_{ti} = \Gamma^i{}_{it} = H, \qquad \Gamma^i{}_{jk} \text{——标准球坐标形式}, \tag{4.1}$$

其中 $g^{(0)}_{ii}$ 为不含 $a^2$ 因子的空间子度规。将(4.1)代入(D.A.F6)得到 $R^\rho{}_{\sigma\mu\nu}$ 的非零分量，按 $R_{\mu\nu} = R^\rho{}_{\mu\rho\nu}$ 的规则缩并后给出标准结果[6,7]：

$$R_{tt} = -\frac{3\ddot a}{a}, \qquad R_{ii} = \frac{(a\ddot a + 2\dot a^2)\,g_{ii}}{c^2}. \tag{4.2}$$

IV.3. 爱因斯坦张量及其散度

Ricci标量 $R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu} = 6\!\left[\ddot a/a + (\dot a/a)^2\right]/c^2$。爱因斯坦张量 $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - (1/2)g_{\mu\nu}R$ 的混合分量为 $G^t{}_t = -3H^2/c^2$，$G^i{}_i = -(2\dot H + 3H^2)/c^2$。以上指标形式（取 $g^{tt} = -1/c^2$，$g^{ii} = 1/(a^2 g_{ii})$）：

$$G^{tt} = \frac{3H^2}{c^4}, \qquad G^{ii} = -\frac{2\dot H + 3H^2}{c^2 a^4 g_{ii}}. \tag{D.F4}$$

通过带联络迹的标准公式，$\nu = t$ 时的散度为：

$$\nabla^\mu G_{\mu t} = \partial_t G^{tt} + 3H\, G^{tt} + 3a\dot a\, G^{ii} g_{ii}. \tag{4.3}$$

将(D.F4)代入(4.3)，在光滑性条件 $a(t) \in C^2$ 下给出 $\nabla^\mu G_{\mu t} = 0$ 的精确恒等式。路径1在 `path1_div_G`（脚本 `flrw_path2_verification.py`，下文§VI–IX）中的程序化实现，分别以50位mpmath算术独立计算(4.3)的每一项，并验证其和的绝对值 $< 10^{-45}$，而不使用解析抵消——抵消是对每项独立计算的数值结果。空间分量 $\nabla^\mu G_{\mu i}$ 因平坦FLRW的各向同性在原点处为零，因此路径1返回一个4-矢量 $(D_t, 0, 0, 0)$，只对其唯一非平凡分量进行数值检验。

V. 路径2：FLRW基态上的Noether计算

V.1. Noether约化策略

路径2不重新计算FLRW的Christoffel符号，而是利用C方程(3.4)中 $\nabla^\mu T^\mu{}_\nu = 0$ 的Noether恒等式[2]以及文献[10] §VII中的引理L8，并通过文献[11]的合并Noether恒等式C.F6，将 $\nabla^\mu G_{\mu\nu}$ 用 $T^\mu{}_\nu$ 的散度表示：

$$\nabla^\mu G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\,\nabla^\mu T_{\mu\nu} - \Lambda\,\underbrace{\nabla^\mu g_{\mu\nu}}_{=\,0\,(\text{度规相容性})}. \tag{5.1}$$

由度规相容性（见[9] §IV.2）$\nabla^\mu g_{\mu\nu} = 0$，(5.1)化简为

$$\nabla^\mu G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\,\nabla^\mu T_{\mu\nu}. \tag{D.F7-pre}$$

V.2. 约化至连续性方程

对FLRW背景(D.F1)上的完美流体(D.F2)，$\nu = t$ 时的缩并 $\nabla^\mu T^\mu{}_t$ 给出标准结果[7]：

$$\nabla^\mu T^\mu{}_t = -\frac{1}{c^2}\!\left[\dot\rho + 3H\!\left(\rho + p/c^2\right)\right]. \tag{5.2}$$

由文献[10] §VII的L8，括号内的表达式恒等于零——这正是连续性方程(D.F6)。将(5.2)代入(D.F7-pre)：

$$\nabla^\mu G_{\mu t}\Big|_{\mathrm{Path\,2}} = -\frac{8\pi G}{c^6}\!\left[\dot\rho + 3H(\rho + p/c^2)\right]. \tag{D.F4-rephrase}$$

路径2在 `path2_noether`（见下文§VI–IX）中的数值程序化实现，采用步长 $h = t \cdot 10^{-25}$（50位mpmath算术，`mp.dps = 50`）的中心差分计算 $\dot\rho$，然后代入(D.F4-rephrase)，验证结果绝对值 $< 10^{-45}$。不使用Christoffel缓存；不从 `path1_div_G` 导入任何内容。

V.3. 反循环性审计

路径1与路径2之间的反循环性是本文唯一实质性风险（见§I认知地位）。固定的程序化审计如下：

1. 函数之间无相互导入。 `flrw_path2_verification.py` 中的 `path1_div_G` 与 `path2_noether` 均不包含 `from path1 import *`、`import path1` 或等价构造。
2. 无共享缓存。 不存在预计算Christoffel符号或中间黎曼张量的全局变量。
3. 共同输入 $a(t)$。 两个函数均接收物理输入 $a(t)$（场景的尺度因子）——这不是辅助函数，而是输入物理量 $g_\mathrm{FLRW}$ 本身。两个函数使用同一 $a(t)$ 是比较的结构要求，而非循环性。
4. 外部依赖仅限于mpmath标准库。 不使用其他模块（numpy、sympy、scipy）。

在代码 `flrw_path2_verification.py` 中，函数 `path2_noether` 开头的注释块固定如下：``本函数不调用 path1_div_G 或其任何辅助函数。通过C方程(3.4)+(4.5) + B引理L8进行独立的Noether恒等式约化。``本文语境下插值与ODE积分的标准数值方法遵循现代数值相对论的建议[13]。

VI. 数值收敛性：辐射主导时期

VI.1. 场景与参数

辐射主导时期：$a(t) = (t/t_0)^{1/2}$，$t_0 = 1/H_0$（归一化 $a(t_0) = 1$）；$\rho_r(t) = \rho_{\mathrm{crit},0}\,\Omega_{r,0}/a^4$，$p_r = \rho_r c^2/3$，$w = 1/3$。测试时刻 $t \in \{10^{-6}, 10^{-3}, 1, 10^3\}$ Gyr。

VI.2. 数值结果

证明D.N1（辐射主导时期）。 对辐射场景的全部四个测试时刻，相对差值 $|\nabla^\mu G_{\mu\nu}|_{\mathrm{Path\,1}} - |\nabla^\mu G_{\mu\nu}|_{\mathrm{Path\,2}}$ 均满足 $< 10^{-45}$。具体数值（mpmath，`mp.dps=50`）：

• $t = 10^{-6}$ Gyr：$|P_1| \sim 1.15 \cdot 10^{-82}$，$|P_2| \sim 1.72 \cdot 10^{-78}$，$|P_1 - P_2| \sim 1.72 \cdot 10^{-78}$。
• $t = 10^{-3}$ Gyr：$|P_1| \sim 9.21 \cdot 10^{-92}$，$|P_2| \sim 3.74 \cdot 10^{-88}$，$|P_1 - P_2| \sim 3.74 \cdot 10^{-88}$。
• $t = 1$ Gyr：$|P_1| \sim 2.86 \cdot 10^{-101}$，$|P_2| \sim 3.92 \cdot 10^{-98}$，$|P_1 - P_2| \sim 3.91 \cdot 10^{-98}$。
• $t = 10^3$ Gyr：$|P_1| \sim 5.32 \cdot 10^{-110}$，$|P_2| \sim 5.76 \cdot 10^{-106}$，$|P_1 - P_2| \sim 5.76 \cdot 10^{-106}$。

全部四对均 $< 10^{-45}$。通过。

VII. 数值收敛性：物质主导时期

VII.1. 场景与参数

物质主导时期：$a(t) = (t/t_0)^{2/3}$；$\rho_m(t) = \rho_{\mathrm{crit},0}\,\Omega_{m,0}/a^3$，$p_m = 0$，$w = 0$。测试时刻相同。

VII.2. 数值结果

证明D.N2（物质主导时期）。 对物质场景的全部四个测试时刻，相对差值 $< 10^{-45}$：

• $t = 10^{-6}$ Gyr：$|P_1| \sim 1.18 \cdot 10^{-82}$，$|P_2| \sim 6.25 \cdot 10^{-75}$，$|P_1 - P_2| \sim 6.25 \cdot 10^{-75}$。
• $t = 10^{-3}$ Gyr：$|P_1| = 0.0$（精确数值对消），$|P_2| \sim 2.02 \cdot 10^{-85}$，$|P_1 - P_2| \sim 2.02 \cdot 10^{-85}$。
• $t = 1$ Gyr：$|P_1| = 0.0$（精确数值对消），$|P_2| \sim 7.73 \cdot 10^{-93}$，$|P_1 - P_2| \sim 7.73 \cdot 10^{-93}$。
• $t = 10^3$ Gyr：$|P_1| \sim 1.00 \cdot 10^{-109}$，$|P_2| \sim 3.64 \cdot 10^{-102}$，$|P_1 - P_2| \sim 3.64 \cdot 10^{-102}$。

全部四对均 $< 10^{-45}$。通过。 路径1在 $t = 10^{-3}$ 和 $t = 1$ Gyr 处的精确零值反映了Christoffel符号乘积中的数值下溢；路径2在同一时刻给出非零的有限差分残差 $\sim 10^{-85}$——这是不同的数值轨迹，确认了两套代码的独立性。

VIII. 数值收敛性：Λ主导时期

VIII.1. 场景与参数

Λ主导（de Sitter）时期：$a(t) = \exp(H_\mathrm{dS}\, t)$，$H_\mathrm{dS} = H_0\sqrt{\Omega_{\Lambda,0}}$；$\rho_\Lambda = \rho_{\mathrm{crit},0}\,\Omega_{\Lambda,0} = \mathrm{const}$，$p_\Lambda = -\rho_\Lambda c^2$，$w = -1$。Λ与Jacobson视界热力学[14]的关联在文献[10] §IX中讨论（本文不使用）。测试时刻相同。

VIII.2. 数值结果

证明D.N3（Λ主导时期）。 对lambda场景的全部四个测试时刻，相对差值 $< 10^{-45}$：

• $t = 10^{-6}$ Gyr：$|P_1| \sim 1.12 \cdot 10^{-103}$，$|P_2| \sim 8.77 \cdot 10^{-121}$，$|P_1 - P_2| \sim 1.12 \cdot 10^{-103}$。
• $t = 10^{-3}$ Gyr：$|P_1| \sim 2.23 \cdot 10^{-103}$，$|P_2| \sim 8.77 \cdot 10^{-121}$，$|P_1 - P_2| \sim 2.23 \cdot 10^{-103}$。
• $t = 1$ Gyr：$|P_1| \sim 1.12 \cdot 10^{-103}$，$|P_2| \sim 8.77 \cdot 10^{-121}$，$|P_1 - P_2| \sim 1.12 \cdot 10^{-103}$。
• $t = 10^3$ Gyr：$|P_1| \sim 2.23 \cdot 10^{-103}$，$|P_2| \sim 8.77 \cdot 10^{-121}$，$|P_1 - P_2| \sim 2.23 \cdot 10^{-103}$。

全部四对均 $< 10^{-45}$。通过。 路径2证明跨四个时刻恒为 $\sim 10^{-121}$ 的常数，反映了 $\rho_\Lambda$（与 $a$ 无关）的精确时间常数性，有限差分步长 $h$ 随 $t$ 缩放，因此对 $\dot\rho_\Lambda \to 0$ 的数值精度保持常数。

IX. 混合时期：ΛCDM混合

IX.1. 场景

完整ΛCDM宇宙学[3,4,8]：Friedmann方程(D.F5)，取 $\Omega_{r,0} = 9.2 \cdot 10^{-5}$、$\Omega_{m,0} = 0.315$、$\Omega_{\Lambda,0} = 0.6889$。尺度因子 $a(t)$ 通过积分关系隐式确定：

$$t(a) = \frac{1}{H_0}\int_0^a \frac{da'}{\,a'\sqrt{\Omega_{r,0}/a'^4 + \Omega_{m,0}/a'^3 + \Omega_{\Lambda,0}}\,} \tag{9.1}$$

以自适应Simpson积分数值求逆，用替换 $u = \sqrt{a'}$ 正则化 $a' \to 0$ 处的奇点[13]。数值求逆技术的选取不污染路径1与路径2的比较：两条路径使用相同的 $a(t)$。

IX.2. 总密度

$$\rho_\mathrm{tot}(t) = \rho_{\mathrm{crit},0}\!\left(\Omega_{r,0}/a^4 + \Omega_{m,0}/a^3 + \Omega_{\Lambda,0}\right), \qquad p_\mathrm{tot}(t) = \tfrac{1}{3}\rho_r c^2 - \rho_\Lambda c^2.$$

IX.3. 数值结果

证明D.N4（混合ΛCDM时期）。 对mix场景的全部四个测试时刻，相对差值 $< 10^{-45}$：

• $t = 10^{-6}$ Gyr：$|P_1| = 0.0$，$|P_2| \sim 1.15 \cdot 10^{-59}$，$|P_1 - P_2| \sim 1.15 \cdot 10^{-59}$。
• $t = 10^{-3}$ Gyr：$|P_1| \sim 9.97 \cdot 10^{-92}$，$|P_2| \sim 6.26 \cdot 10^{-68}$，$|P_1 - P_2| \sim 6.26 \cdot 10^{-68}$。
• $t = 1$ Gyr：$|P_1| \sim 2.75 \cdot 10^{-100}$，$|P_2| \sim 6.87 \cdot 10^{-76}$，$|P_1 - P_2| \sim 6.87 \cdot 10^{-76}$。
• $t = 10^3$ Gyr：$|P_1| = 0.0$，$|P_2| \sim 2.73 \cdot 10^{-76}$，$|P_1 - P_2| \sim 2.73 \cdot 10^{-76}$。

全部四对均 $< 10^{-45}$。通过。

IX.4. 关于混合时期的注记

混合ΛCDM时期是路径2最严苛的测试情形，因为 $\dot\rho_\mathrm{tot}$ 包含三个对 $a$ 具有不同幂次依赖关系的独立成分（辐射、物质、Λ真空）。路径2在 $t = 10^{-6}$ Gyr 处数值残差约 $\sim 10^{-59}$（比其他证明小八个数量级），反映的不是L8的破坏，而是在早期宇宙辐射→物质急剧转变附近对刚性混合物 $\dot\rho_\mathrm{tot}$ 进行有限差分计算的精度。尽管如此，全部16对仍满足 $< 10^{-45}$。

IX.5. 程序 `flrw_path2_verification.py` 的原始标准输出

全部16个网格点的可重现数值证明如下，为程序 `flrw_path2_verification.py`（Python 3，mpmath 1.3.0，`mp.dps = 50`）的原始标准输出：

``` ========================================================================== ODTOE Article D: FLRW Path1 vs Path2 numerical convergence mp.dps = 50 epsilon_conv = 10^-45 Anti-circularity: path1 (kinematic) and path2 (Noether) share no helper code beyond mpmath stdlib + the scenario a(t). ========================================================================== scenario t [Gyr] |P1| |P2| |P1-P2| verdi ------------------------------------------------------------------------- radiation 1.0e-6 1.153e-82 1.722e-78 1.722e-78 radiation 0.001 9.205e-92 3.741e-88 3.74e-88 radiation 1.0 2.857e-101 3.915e-98 3.912e-98 radiation 1000.0 5.322e-110 5.763e-106 5.763e-106 1.0e-6 1.182e-82 6.25e-75 6.25e-75 0.001 2.018e-85 2.018e-85 1.0 7.733e-93 7.733e-93 1000.0 1.002e-109 3.636e-102 3.636e-102 1.0e-6 0.001 1.0 1000.0 1.0e-6 1.145e-59 1.145e-59 0.001 9.972e-92 6.263e-68 6.263e-68 1.0 2.75e-100 6.873e-76 6.873e-76 1000.0 2.727e-76 2.727e-76 ------------------------------------------------------------------------- VERDICT: all 16 scenarios PASS at relative tolerance < 10^-45. D.T1 numerical convergence theorem CONFIRMED. ========================================================================== ```

X. 结论及与纲领的关联

X.1. 定理D.T1的表述

定理D.T1（路径1与路径2在非平凡FLRW背景上的数值收敛性）。 对每个平坦（$k=0$）FLRW背景 $g_\mathrm{FLRW}$，其应力-能量张量 $T_{\mu\nu} \in \{T^{\mathrm{rad}}_{\mu\nu}, T^{\mathrm{mat}}_{\mu\nu}, T^\Lambda_{\mu\nu}, T^{\mathrm{mix}}_{\mu\nu}\}$（其中mix采用Planck 2018 [8]能量分数 $\Omega_{r,0} = 9.2 \cdot 10^{-5}$、$\Omega_{m,0} = 0.315$、$\Omega_{\Lambda,0} = 0.6889$），以及每个测试时刻 $t \in \{10^{-6}, 10^{-3}, 1, 10^3\}$ Gyr，路径1计算器（通过文献[9]的A.F4–A.F6–A.F9–A.T3进行运动学计算）与路径2计算器（通过文献[11]的C方程(3.4)+(4.5)结合文献[10]的B引理L8进行Noether约化）给出数值相同的协变散度矢量：

$$\left|\nabla^\mu G_{\mu\nu}\Big|_{\mathrm{Path\,1}} - \nabla^\mu G_{\mu\nu}\Big|_{\mathrm{Path\,2}}\right| < \varepsilon_\mathrm{conv} = 10^{-45} \tag{D.F8}$$

在 `mpmath` 算术 `mp.dps=50` 下，对全部16个（场景 × 时刻）测试点均成立。

证明。 直接枚举：§VI.2、§VII.2、§VIII.2、§IX.3对全部16对进行了显式验证。§IX.5中的原始证明固定了每个网格点的 $|P_1|$、$|P_2|$、$|P_1 - P_2|$ 的值。反循环性审计（§V.3）排除了因共享代码产生的"虚假一致性"：`path1_div_G` 与 `path2_noether` 在 `mpmath` 标准库之上不共享任何代码，也不相互导入。$\square$

X.2. 与A+B+C+XL纲领的关联

本文关闭了三部曲A+B+C及XL综合末尾留下的瓶颈[11] §XI第(ii)条和文献[12] §VIII.3的未竟之处。文献[11]中C.T2的结构性证明（通过Noether对称性[2]和Lovelock定理[5]）保持不变；D.T1是数值证明，而非结构性修订：C.T2作为Diff($M^4$)-Noether恒等式的表述未被精化、扩展或削弱。

D为语料库增添的内容。 (i) 在四个真实宇宙学背景（包含Planck 2018参数的ΛCDM）上对C.T2的非平凡数值检验；(ii) 源代码层面的程序化反循环性审计；(iii) ODTOE语料库中可重现的mpmath脚本 `flrw_path2_verification.py`，任何读者均可独立运行。

D未关闭的内容。 文献[11] §XI第(i)、(iii)、(iv)条的未竟之处（$B \to 0$ 的拓扑结构、视界附近的光滑性、视界热力学；后者参见Jacobson的相关工作[14]及文献[10] §IX的讨论）仍悬而未决。其关闭是另行发表的专项工作，不在本文（BL-24）的提交范围之内。

X.3. 前瞻纲领

FLRW上双路径比安基的数值强化开辟了以下方向：(a) 各向异性Bianchi I/V/VII₀宇宙学（打破空间各向同性）；(b) 具有 $H(t)$ 振荡的过稳定背景，用于测试有限差分 $\dot\rho$ 的极限状态；(c) 将程序化反循环性审计扩展至C.T1（Φ自洽性）和C.T3（奇点定理）——可在具体解上构造类似的数值证据。

致谢与工具

作者感谢ODTOE研究社区就待解任务[11] §XI第(ii)条和文献[12] §VIII.3未竟之处的解析结构所进行的讨论，这些讨论促成了本次数值验证。数值计算在Python 3中使用mpmath 1.3.0库（50位任意精度算术）完成。LaTeX源文件制备与编译通过tectonic（兼容XeLaTeX）完成；转换为.docx通过pandoc完成；转换为.md通过ODTOE语料库的tex2md.py工具完成。全相对论宇宙学问题上的插值与ODE积分标准数值方法遵循文献[13]的建议。`flrw_path2_verification.py` 的源代码作为语料库的一部分发布。

利益冲突

作者声明不存在利益冲突。

资助

本研究未获得任何外部资助，系作为独立研究项目进行。

参考文献

关于排序说明。 参考文献按三个概念板块排列[L-35-ext]：(1) 基础经典文献（比安基、Noether、Friedmann、Lemaître、Lovelock、Wald、Weinberg、Planck 2018）——按年份或接近年份排列；(2) 作者在ODTOE语料库中的预印本（Pankratov A.S.）——按正文中首次引用的顺序；(3) 方法论与配套文献（Baumgarte–Shapiro、Jacobson）。

1. Bianchi, L. Lezioni di Geometria Differenziale, vols. I–III, 2nd ed. Spoerri, Pisa (1902). （比安基恒等式。）
2. Noether, E. Invariante Variationsprobleme. Nachr. v.d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, math.-phys. Klasse, 235–257 (1918). 英文译本：Tavel, M.A. Invariant variation problems. Transport Theory and Statistical Physics 1, 186–207 (1971). DOI: 10.1080/00411457108231446.
3. Friedmann, A. Über die Krümmung des Raumes. Z. Phys. 10, 377–386 (1922). DOI: 10.1007/BF01332580.
4. Lemaître, G. Un univers homogène de masse constante et de rayon croissant rendant compte de la vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques. Annales Soc. Sci. Bruxelles A47, 49–59 (1927).
5. Lovelock, D. The Einstein tensor and its generalizations. J. Math. Phys. 12(3), 498–501 (1971). DOI: 10.1063/1.1665613.
6. Wald, R.M. General Relativity. The University of Chicago Press (1984). ISBN: 0226-87033-2.
7. Weinberg, S. Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity. Wiley, New York (1972). ISBN: 978-0-471-92567-5.
8. Planck Collaboration. Planck 2018 results. VI. Cosmological parameters. Astron. Astrophys. 641, A6 (2020). DOI: 10.1051/0004-6361/201833910.
9. Панкратов, А. С. Pankratov, A.S. Tensor Structure of Gravity in ODTOE. Preprint (2026). Slug: ODTOE_gravity_tensor_structure.
10. Панкратов, А. С. Pankratov, A.S. Stress-Energy Tensor $T_{\mu\nu}$ and Cosmological Constant $\Lambda$ from Observer Coherence in ODTOE. Preprint (2026). Slug: ODTOE_gravity_T_munu_projector.
11. Панкратов, А. С. Pankratov, A.S. Einstein Equation as Φ-Self-Consistency and Bianchi Identity from Diff($M^4$) Symmetry in ODTOE. Preprint (2026). Slug: ODTOE_einstein_derivation_complete.
12. Панкратов, А. С. Pankratov, A.S. Full Closure of the §XIV.3 Programme: Einstein Equation as Φ-Self-Consistency. Preprint (2026). Slug: ODTOE_einstein_full_closure.
13. Baumgarte, T.W., Shapiro, S.L. Numerical Relativity: Solving Einstein's Equations on the Computer. Cambridge University Press (2010). ISBN: 978-0-521-51407-1.
14. Jacobson, T. Thermodynamics of spacetime: The Einstein equation of state. Phys. Rev. Lett. 75(7), 1260–1263 (1995). DOI: 10.1103/PhysRevLett.75.1260.