# 随机并非随机：观察者依赖的万物理论中的分形自相似稳定性

> ODTOE把观测到的随机性读作从外部看到的确定性φ稳定性的残余特征。黄金比例φ是Greene不变环面破坏残差判据意义下最不可约的数，使φ结构轨道在扰动下具有最大存活性（KAM理论）；向Ψ*的收敛是模为q = φ−1的Banach收缩，残差为ε(d, n) = (π − 3)2 φ−|d−d0| (φ−1)n。论点反转了推断箭头：在无法触及收缩时观测到的稳定性呈现为随机性，并与随机矩阵谱、本福特定律及赫斯特关系H(S) = (1 + S)/2相符。

Source: https://odtoe.org/zh/articles/randomness-fractal-stability
Author: Anton Pankratov · Observer-Dependent Theory of Everything (ODTOE) · CC BY 4.0

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随机性并非随机：观察者依赖的万物理论中的分形自相似稳定性（RANDOMNESS IS NOT RANDOM: FRACTAL SELF-SIMILAR STABILITY IN THE OBSERVER-DEPENDENT THEORY OF EVERYTHING）潘克拉托夫·安东·谢尔盖耶维奇 Pankratov Anton Sergeevich 独立研究员，俄罗斯喀山市 Independent researcher, Kazan, Russia E-mail: anton.s.pankratov@gmail.com ORCID: 0009-0002-4870-2995

## УДК 519.21 + 530.145 + 514.7 + 167.7

ABSTRACT A reading of observed randomness as the residual signature of deterministic φ-stability viewed from outside is proposed. Within the formalism of the Observer-Dependent Theory of Everything (ODTOE) [1], the golden ratio φ is the most irrational number in the sense of Greene's residue criterion for the destruction of invariant tori [2, 3]; this endows φ-structured orbits with maximal survival under perturbation. Convergence to a stable configuration Ψ∗ is described by a Banach contraction with local contraction modulus q = φ−1 . A transient factor (φ−1 )n is introduced, coupling the static φ-residue of the corpus [4] to the tail of incomplete convergence: the residue at step n takes the form ε(d, n) = (π − 3)2 φ−|d−d0 | (φ−1 )n . The central thesis is the inversion of the inference arrow: deterministic stability, observed without access to the underlying contraction, presents as apparent randomness. Empirical signatures consistent with this reading are discussed: spectral correlations of random matrices, Benford's law, self-organized criticality. The Hurst relation H(S) = (1 + S)/2 is cited as the S = 0 special case [5]. A demarcation of statement levels (L1 mathematical fact, L2 physical hypothesis, L3 worldview metaphor) is carried out with stated limits of applicability. Keywords: randomness, golden ratio, fractal stability, most irrational number, Greene residue criterion, KAM theory, Banach contraction, φ-residue, arrow inversion, ODTOE.

摘要 本文将可观测的随机性解读为从外部视角观察确定性φ-稳定性时留下的残余印记。在ODTOE（观察者依赖的万物理论）的形式体系中 [1]，黄金比例φ在格林剩余判据意义下是最无理的数，即不变环面在哈密顿系统扰动下最晚被破坏 [2, 3]；这赋予φ-结构轨道在扰动下的最大存活能力。向稳定构型Ψ∗的收敛由巴拿赫压缩映射描述，局部压缩模量为q = φ−1。本文引入瞬态因子(φ−1)n，将语料库的静态φ-剩余 [4] 与不完全收敛的尾部耦合：第n步的剩余量具有如下形式：ε(d, n) = (π − 3)2 φ−|d−d0| (φ−1)n。核心论点是推断箭头的反转：确定性稳定性在观察者无法获取底层压缩信息的情况下，呈现为表观随机性。本文讨论了与此解读相符的经验印记：随机矩阵的谱关联、本福特定律、自组织临界性。赫斯特关系H(S) = (1 + S)/2被引用为S = 0的特例 [5]。本文对命题层级进行了划分（L1数学事实、L2物理假说、L3世界观隐喻），并明确了适用限度。关键词：随机性，黄金比例，分形稳定性，最无理数，格林剩余判据，KAM理论，巴拿赫压缩，φ-剩余，箭头反转，ODTOE。

## I. 引言

随机性概念在物理学基础中占据双重地位。一方面，随机性作为操作性概念被引入：作为可预测性的极限，作为结果序列中可辨识秩序的缺失。另一方面，正是这些序列由完全确定性系统所生成——光滑映射的迭代、保守哈密顿流的动力学、递归算术规则。洛伦兹的确定性非周期流 [6] 是经典范例：一个简单的微分方程组产生的轨迹在观测上与随机轨迹无从区分。悖论在于：缺乏生成规则访问权限的观察者，会将严格确定性的产物登记为随机的。

本文通过ODTOE [1] 对该悖论进行结构性分析。出发点是格林的剩余判据 [2]：在无理数中，黄金比例φ对应的不变环面在哈密顿系统扰动下被破坏的阈值最晚。这一性质确定了整个论证的方向：从动力学内部来看最稳定的构型，从外部观察时则产生一个被解读为表观随机性的剩余量。

本文沿 [4] 的思路延伸，该文将黄金比例确立为分形稳定性的不变量，而本文反转了推断箭头。在 [4] 中，黄金比例组织分形稳定性（方向为φ → 稳定性）；而在本文的反向解读中，同样的稳定性一旦被外部观察者记录，便呈现为随机性（方向为φ-稳定性 → 表观随机性）。论点的实质恰在于箭头方向的反转；φ-稳定性的形式体系取自语料库并作为已建立的基础加以引用，不再重新推导。

论述组织如下。第II节用格林剩余判据的语言引入φ作为最无理数。第III节将向稳定构型Ψ∗的收敛描述为模量q = φ−1的巴拿赫压缩。第IV节将观测到的噪声形式化为不完全收敛的φ-剩余，并引入瞬态因子。第V节呈现本文的核心贡献——推断箭头的反转。第VI节考察与反向解读相符的经验印记。第VII节对命题层级进行划分。第VIII节为结论。

## II. φ 作为最无理数

黄金比例是一个自参照方程的正根，其中该量通过自身来表达：

$$\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}.$$

$$\varphi = 1 + \frac{1}{\varphi},$$

(1)

关系式(1)具有连分数形式，其中所有偏商均等于1：

$$\varphi = [1; 1, 1, 1, \ldots].$$

(2)

形式(2)是数学事实；然而，其对稳定性的意义是通过格林不变环面剩余判据 [2] 揭示的，超越了单纯有理逼近速率本身所能说明的范围。格林 [2] 建立了一个判断给定旋转数的准周期轨迹被破坏的工作判据：只要相关周期轨道的剩余量R低于某阈值，环面就得以存活；越过该阈值标志着向混沌动力学的过渡。用收敛到旋转数的有理逼近序列来标记轨道，可得到一个剩余量序列，其行为确定了破坏时刻。对于旋转数等于黄金比例的情况，剩余量序列比任何其他无理数都更晚达到临界阈值：黄金旋转数的环面是随扰动增大而最后被破坏的。在此意义上，φ是最无理的数——其准周期轨道对共振破坏的抵抗最为强烈。

格林的判据随后被纳入柯尔莫哥洛夫–阿诺德–莫泽（KAM）理论的严格框架中 [3]，该理论确立了足够无理的环面在小扰动下的存活，而弱KAM理论和奥布里–马泽理论 [7] 的现代结果进一步细化了临界阈值附近存活不变集的结构。

在ODTOE [1] 中，φ的这一性质获得直接诠释：自观察回路中φ-结构的构型比其他构型更长久地抵抗共振破坏而保持稳定。[4] 的思路在φ → 分形组织的方向上发展了这种稳定性；在此，格林判据作为反向解读的入口（第V节）。认知地位：φ的最无理性及形式(2)是数学事实（L1）；将φ-稳定性解释为观察构型的持续存在属于物理假说层面（L2）。对自然系统中φ存在的过度诠释的反驳，在第VII节结合批判性分析 [8] 予以讨论。

## III. 向稳定构型Ψ∗的收敛

稳定观察构型Ψ∗在ODTOE语料库中被定义为自观察算子Φ的不动点：

$$\Psi^* = \Phi(\Psi^*).$$

(3)

Ψ∗在式(3)意义下的存在性与唯一性已在 [9, 10] 中通过巴拿赫不动点定理建立，此处作为已建立的基础引用，不再重新证明。我们关心的是趋向不动点的速率，独立于其存在性问题，因为正是收敛的不完全性产生了可观测的剩余量（第IV节）。

设$\Delta_n = \|\Psi_n - \Psi^*\|$表示算子Φ经过n次迭代后当前场Ψn到不动点的残余距离。对于模量q < 1的压缩映射，巴拿赫定理给出剩余量衰减的几何界：

$$q = \varphi^{-1}.$$

$$\Delta_n \leq q^n \Delta_0,$$

(4)

模量q = φ−1的取值来自算子Φ在不动点附近线性化的谱论证 [9, 11]：生成自参照映射在φ处的导数确定了局部压缩率，被认定为φ−1。数值上，q = φ−1 = 0.61803398874989484820458683436563811772030917980576，精确到50位有效数字。此处φ−1仅作为不动点邻域内的局部压缩模量，不与任何参数的经验最小化值相认同；与相干性相关量的极小值问题在第IV节作为假说单独讨论。

认知地位：巴拿赫定理和界(4)是数学事实（L1）；将q认同为物理观察回路收敛速率属于假说层面（L2）。注意，(4)描述的是单一递归层内的收敛；层间尺度变换在第IV节引入。

## IV. 噪声作为不完全收敛的φ-剩余

构成本文形式层面核心的建构，将可观测噪声与收敛到Ψ∗的迭代在每一步留下的剩余量相联系。ODTOE语料库确立了层间连接按φ律衰减。d层的纠缠熵的尺度关系为

$$S_{\text{ent}}(\rho_d) \propto \varphi^{-|\Delta d|},$$

(5)

其中|∆d| = |d − d0|是从观察者层d0起算的递归层距离。关系式(5)在 [4] 中建立，此处作为φ-分形性的既有印记引用，不再重新推导；它描述了剩余量中与迭代指标无关的静态部分。

在静态φ-剩余的基础上，本文增加了一个瞬态因子。若观察者层处的剩余量携带不可约螺旋间隙(π − 3)2 [1, 12]，通过(5)的因子φ−|∆d|跨层缩放，而层内收敛遵从模量为φ−1的巴拿赫界(4)，则d层经过n次迭代后的剩余量具有如下形式：

$$\varepsilon(d, n) = (\pi - 3)^2 \, \varphi^{-|d - d_0|} (\varphi^{-1})^n.$$

(6)

在表达式(6)中，静态因子(π − 3)2 φ−|d−d0|是语料库的φ-分形性印记 [4, 13]，而瞬态因子(φ−1)n是本文的贡献：它将静态剩余量与观察回路不完全收敛的尾部耦合。[13] 的思路描述了螺旋间隙跨层的φ-缩放及间隙在向Ψ∗迭代过程中的收缩；本文将同一剩余量作为外部观察的对象，将其与表观随机性相联系（第V节）。发展湍流中剩余量的多重分形结构 [14] 给出了静态自相似印记与尺度间歇性耦合的独立范例，与此处提出的形式(6)相仿。

螺旋间隙的数值(π − 3)2 = 0.020048479550599188058630700199133830130683010990156，精确到50位有效数字。因子(φ−1)n单调递减：在n = 0时剩余量携带完整的静态间隙，在n = 1时剩余量为其φ−1 ≈ 0.618倍，在n = 5时约为φ−5 ≈ 0.090倍。剩余量在n → ∞时趋向零，但对任意有限n保持正值：回路的完全闭合不可达 [1]，正是这种剩余量不可约的正性滋养了可观测的变异性。

压缩模量q与相干性之间的联系需要单独说明。若相干性S及相关量B由联合依赖关系q(B, S)描述，则该依赖关系的极小值推测在B = S ≈ 0.562处约为q ≈ 0.678；此数值具有假说地位，与局部压缩模量φ−1（两者并不相等）严格分开处理。将极小值认同为φ−1将是方法论上不正确的拟合。因此，φ−1严格作为局部压缩模量(4)，而关于q(B, S)极小值的断言被明确标记为假说，不用于后续结论。

认知地位：(π − 3)2的数值与φ-衰减是数学事实（L1）；将ε(d, n)解释为可观测噪声属于物理假说层面（L2）；关于q(B, S)极小值的假说被明确标记并与推导出的结论相分离。

## V. 推断箭头的反转

前几节在语料库的术语框架内重现了φ-稳定性的形式体系：格林剩余判据（第II节）、巴拿赫压缩（第III节）、带瞬态因子的剩余量（第IV节）。本文独特的贡献在于一个动作——这是语料库中任何文章都未曾做过的：反转稳定性与随机性之间的推断箭头。

考虑一位观察者，记录一个按确定性规律(4)收敛到稳定构型Ψ∗的系统的行为。若观察者能获取生成规则——算子Φ与压缩模量φ−1——他看到的是有序的几何收敛。若无法获取生成规则，观察者只能看到剩余量序列ε(d, n)（式6），在不知道指标d和n的情况下，记录于不同层d和步骤n处。这个序列，一旦剥离了其生成规则，便与随机过程的样本无从区分：它不显示可辨识的周期性（旋转数φ是最无理的，见第II节），其振幅按φ律分布，其关联结构由层的分形自相似性决定。

由此得出核心论点：确定性φ-稳定性，从外部观察，在无法获取底层压缩信息的情况下，呈现为表观随机性。推断箭头反转。在语料库 [4] 的正向解读中，黄金比例生成分形稳定性；在反向解读中，同样的稳定性一旦被外部观察者记录，便呈现为随机性。表观随机性因此是观察者对生成动力学访问受限的认知效应；从本体论上说，系统仍然是确定性的。

论点的实质恰恰来自反转φ-稳定性的箭头，对于任意确定性动力学而言，同样的动作意义要小得多。任意确定性轨道从外部观察，可能呈现出周期性或共振结构，从而暴露生成规则。而具有黄金旋转数的轨道则不呈现这种结构：其最无理性（第II节）恰恰是使其外部记录与随机的最大相似的性质。最稳定的构型同时也是在外部观察下最难与随机区分的构型。

观察者的起源以及"从外部"这一限定词的含义在 [15] 中有所展开；此处只需记录，观察者获取生成规则的访问权限的边界，正是稳定性过渡为随机性表象的界面 [1]。

该论点的认知地位需要精确标注，因为将结构描述与世界观断言混淆的风险在此处最高。

作为关于稳定性模型的命题，箭头反转是L2层的假说：它表述了观察者的访问权限与所记录统计量之间的可检验关系。"随机性并非随机"作为世界观论题属于L3层级（隐喻、世界观），并被明确如此标注：它作为一种诠释框架开放于修正，不具有可从L1事实和L2假说推导出的定理地位。层级划分在第VII节进行。

## VI. 经验印记

第V节的反向解读允许与一系列经验印记相比较，在这些印记中，确定性结构以统计规律的形式被记录。这些印记以定性方式给出，作为与反向解释相符的证据，不声称证明；定量结果引自原始文献。

**随机矩阵的谱关联**给出第一个印记。博希加斯–詹诺尼–施密特猜想 [16] 将经典极限为混沌的量子系统的能级统计与维格纳随机矩阵系综 [17] 相联系：确定性动力学产生的谱，其局部统计量与随机矩阵的无从区分。萨奇得夫–叶–北川（SYK）模型 [18] 和随机矩阵普适性 [19] 的现代结果确认了这一联系的稳健性。用反向解读的术语来说，谱刚性是确定性稳定性被解读为随机性的印记：能级排斥反映了对共振简并的抵抗，类似于第II节的最无理性。这种自相似性与谱统计量的联系在 [4] 中也有提及；此处将其作为与反向解释相符的证据呈现，处于对已知内容的重新表述层面。

**本福特定律**给出第二个印记。跨越许多数量级的量的前导有效数字分布遵循对数律 [12]：确定性乘法过程生成的统计量，看似随机却被尺度不变性严格规定。在反向解读中，本福特分布是尺度自相似稳定性的印记，被记录为数字分布的表观随机性；同样的尺度不变性在 [4] 中也有讨论。

**自组织临界性**给出第三个印记。巴克–汤–维森菲尔德模型 [20] 表明耗散系统自发演化到具有幂律事件规模分布的临界态。天体物理和实验室系统中自组织临界性的现代综述 [21, 22] 证实了幂律结构的普遍性。在反向解读中，幂律尾部是临界阈值附近自相似稳定性的印记，被解读为雪崩规模的随机性；相关的分形组织在 [23] 中有所描述。然而，关于幂律结构的断言需要谨慎：批判性分析 [24] 表明幂律往往在数据不足的情况下被断言，方法论分析 [25] 对区分幂律尾部与对数正态或指数分布设定了严格标准。因此，幂律印记在此仅以定性相符的层面给出，不声称定量上已经建立。

**随机共振**给出另一个印记：向非线性系统添加噪声可增强对微弱确定性信号的响应 [26]，在反向解读中，这被理解为确定性与随机分量在观察者访问边界处的相互通透性。具有随机赫斯特指数的分数布朗运动的现代数据 [27] 表明自相似指数本身可能沿轨迹变化，与剩余量(6)的层依赖结构相符。

最后，布朗轨迹的分形结构通过语料库的一个联系汇入本文的解读。分数布朗运动的赫斯特指数通过H(S) = (1 + S)/2与相干性相关；经典布朗运动（H = 1/2）是同一曲面上S = 0的特例 [5]。该关系作为既有结果引用，此处不加推导：

$$H(S) = \frac{1+S}{2}.$$

(7)

关系式(7)在本文中仅作为引用出现，通过语料库结果 [5] 将布朗轨迹的分形维数与相干性S相联系。

印记的认知地位：[12, 16, 17, 18, 20, 21, 22, 26, 27] 中的实验和数值结果在其原始文献范围内是已确立的事实（L1）；将其解读为反向解读的印记属于物理假说层面（L2），以相符性给出。

## VII. 划界

溯源的规范要求将本文的断言明确分配到三个认知层级 [1]。

**L1层级（数学事实）**包括：φ的最无理性及连分数形式(2)；不动点方程(1)；巴拿赫定理与几何收敛界(4)；φ−1和(π − 3)2精确到50位有效数字的数值；各因子的单调φ-衰减。这些断言独立于ODTOE形式体系，可通过分析学和数论方法加以验证。

**L2层级（物理假说）**包括：将φ-稳定性解释为观察构型的持续存在（第II节）；将压缩模量q = φ−1认同为观察回路的收敛速率（第III节）；将剩余量ε(d, n)（式6）解释为可观测噪声，包括瞬态因子（第IV节）；将箭头反转作为观察者访问权限与所记录统计量之间的关系（第V节）；与经验印记的比较（第VI节）。这些断言表述了可检验的关系，开放于独立验证。

**L3层级（世界观隐喻）**包括"随机性并非随机"的世界观论题以及将黄金比例解读为"自然密码"。这些解读处于隐喻层面：它们作为诠释框架，与L1事实和L2假说相分离，不具有定理地位。本文明确将强L3解读与科学内容相分离，不赋予其任何论证性地位。

有两类断言需要单独说明。其一，关于黄金比例在自然系统中存在的断言历史上易被过度诠释；批判性分析 [8] 表明许多此类断言经不住定量检验。因此，φ-结构在本文中保持在稳定性动力学性质的层面（L2），而非被当作自然的普遍装饰（L3）。其二，关于经验分布幂律结构的断言需要严格的统计检验 [24, 25]；第VI节的幂律印记以定性相符的层面给出，不声称定量上已经建立。最后，关于相干性相关量q(B, S)极小值的假说（第IV节）被明确标记为猜想，不用于结论：极小值的数值与局部压缩模量φ−1严格分开处理。

## VIII. 结论

本文提出将可观测的随机性解读为从外部记录的确定性φ-稳定性的残余印记。黄金比例以格林剩余判据 [2, 3] 的语言作为最无理数引入，这赋予φ-结构轨道在扰动下的最大存活能力。向稳定构型Ψ∗的收敛被描述为局部模量q = φ−1的巴拿赫压缩(4)。可观测噪声被形式化为不完全收敛的φ-剩余ε(d, n) = (π − 3)2 φ−|d−d0| (φ−1)n（式6），其中静态因子引自语料库 [4, 13]，而瞬态因子(φ−1)n是本文的贡献。核心贡献是推断箭头的反转：确定性稳定性在观察者无法获取生成压缩信息的情况下，呈现为表观随机性（第V节）。随机矩阵统计、本福特定律和自组织临界性的印记作为与反向解读相符的证据给出；赫斯特关系H(S) = (1 + S)/2被引用为S = 0的特例 [5]。命题层级划分已完成，世界观论题被明确标注为隐喻（L3），并说明了适用限度。本文作为通过反转推断箭头对 [4] 思路的延伸而呈现，不重新发现φ-稳定性的形式体系。

CONFLICT OF INTEREST The author declares no conflict of interest.

FUNDING This research received no external funding.

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## 参考文献

[1] Панкратов А.С. Наблюдатель-зависимая теория всего (Observer-Dependent Theory of Everything) // Препринт. — 2026. [2] Greene J.M. A method for determining a stochastic transition // Journal of Mathematical Physics. — 1979. — Vol. 20, no. 6. — P. 1183–1201. DOI: 10.1063/1.524170. [3] Колмогоров А.Н. О сохранении условно-периодических движений при малом изменении функции Гамильтона // Доклады АН СССР. — 1954. — Т. 98. — С. 527–530. [4] Панкратов А.С. Золотое сечение φ как инвариант фрактальности, самоподобия и рекурсии в ODTOE // Препринт. — 2026. [5] Панкратов А.С. Броуновское движение как проявление наблюдательной архитектуры: экспонента Хёрста, когерентность и масштабный фактор φ // Препринт. — 2026. [6] Lorenz E.N. Deterministic nonperiodic flow // Journal of the Atmospheric Sciences. — 1963. — Vol. 20, no. 2. — P. 130–141. DOI: 10.1175/1520-0469(1963)020<0130:DNF>2.0.CO;2. [7] Siconolfi A., Sorrentino A. Aubry–Mather theory on graphs and networks // Nonlinearity. — 2023. — Vol. 36, no. 11. — P. 5819–5859. DOI: 10.1088/1361-6544/acf7a4. [8] Markowsky G. Misconceptions about the golden ratio // The College Mathematics Journal. — 1992. — Vol. 23, no. 1. — P. 2–19. DOI: 10.1080/07468342.1992.11973428. [9] Панкратов А.С. Динамический аттрактор в ODTOE // Препринт. — 2026. [10] Панкратов А.С. Единый оператор Φ в ODTOE // Препринт. — 2026. [11] Feigenbaum M.J. Quantitative universality for a class of nonlinear transformations // Journal of Statistical Physics. — 1978. — Vol. 19, no. 1. — P. 25–52. DOI: 10.1007/BF01020332. [12] Hill T.P. A statistical derivation of the significant-digit law // Statistical Science. — 1995. — Vol. 10, no. 4. — P. 354–363. DOI: 10.1214/ss/1177009869. [13] Панкратов А.С. Динамика спиральной щели через φ: формализация (π − 3)2 в многоуровневой рекурсии наблюдатель-зависимой теории всего // Препринт. — 2026. [14] Dubrulle B. Multi-fractality, universality and singularity in turbulence // Fractal and Fractional. — 2022. — Vol. 6, no. 10. — Art. 613. DOI: 10.3390/fractalfract6100613. [15] Панкратов А.С. Происхождение наблюдателя в ODTOE // Препринт. — 2026. [16] Bohigas O., Giannoni M.J., Schmit C. Characterization of chaotic quantum spectra and universality of level fluctuation laws // Physical Review Letters. — 1984. — Vol. 52, no. 1. — P. 1–4. DOI: 10.1103/PhysRevLett.52.1. [17] Wigner E.P. Characteristic vectors of bordered matrices with infinite dimensions // Annals of Mathematics. — 1955. — Vol. 62, no. 3. — P. 548–564. DOI: 10.2307/1970079. [18] García-García A.M., Verbaarschot J.J.M. Analytical spectral density of the Sachdev–Ye–Kitaev model at finite N // Journal of High Energy Physics. — 2023. — Vol. 2023, no. 7. — Art. 219. DOI: 10.1007/JHEP07(2023)219. [19] Kundu A., Kuriakose M., et al. Universal level statistics and random matrix behaviour in disordered quantum systems // Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical. — 2025. — Vol. 58, no. 3. — Art. 035001. DOI: 10.1088/1751-8121/ada3f8. [20] Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality: An explanation of the 1/f noise // Physical Review Letters. — 1987. — Vol. 59, no. 4. — P. 381–384. DOI: 10.1103/PhysRevLett.59.381. [21] Aschwanden M.J. Self-organized criticality in astrophysics revisited // Universe. — 2025. — Vol. 11, no. 2. — Art. 46. DOI: 10.3390/universe11020046. [22] Walter J.-C., Hinterberger M., et al. Self-organized criticality in spreading dynamics on networks // Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment. — 2022. — Vol. 2022, no. 6. — Art. 063501. DOI: 10.1088/1742-5468/ac7259. [23] Mandelbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. — New York: W.H. Freeman, 1982. — ISBN 0-7167-1186-9. [24] Clauset A., Shalizi C.R., Newman M.E.J. Power-law distributions in empirical data // SIAM Review. — 2009. — Vol. 51, no. 4. — P. 661–703. DOI: 10.1137/070710111. [25] Stumpf M.P.H., Porter M.A. Critical truths about power laws // Science. — 2012. — Vol. 335, no. 6069. — P. 665–666. DOI: 10.1126/science.1216142. [26] Gammaitoni L., Hänggi P., Jung P., Marchesoni F. Stochastic resonance // Reviews of Modern Physics. — 1998. — Vol. 70, no. 1. — P. 223–287. DOI: 10.1103/RevModPhys.70.223. [27] Balcerek M., Burnecki K., Thapa S., et al. Fractional Brownian motion with random Hurst exponent: Accelerating diffusion and persistence transitions // Chaos. — 2022. — Vol. 32, no. 9. — Art. 093114. DOI: 10.1063/5.0101913.